MathématiquesPub Date : 2008-10-10DOI: 10.2307/j.ctv18pgvn2.8
J. Lacroix
{"title":"Chaînes de Markov","authors":"J. Lacroix","doi":"10.2307/j.ctv18pgvn2.8","DOIUrl":"https://doi.org/10.2307/j.ctv18pgvn2.8","url":null,"abstract":"La notion de chaine a ete introduite en 1902 par Andrei Markov dans le but de formaliser des problemes d'epistemologie et de cryptage. Plus tard, vers 1940-1950, est apparu un formalisme beaucoup mieux adapte, proposant des modes operatoires effectifs s'inspirant de la theorie generale des processus stochastiques et de la theorie du potentiel. Cette presentation est elementaire et ne necessite que des connaissances de base en probabilites. Des exemples illustrent la theorie debouchant sur des procedures algorithmiques generiques : algorithmes de recherche de mesures invariantes, de la programmation dynamique et des chaines de Markov cachees.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"31 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2008-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"115020161","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2008-10-10DOI: 10.51257/a-v1-af106
D. Bonheure, M. Willem
{"title":"Systèmes hamiltoniens : un aperçu variationnel","authors":"D. Bonheure, M. Willem","doi":"10.51257/a-v1-af106","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af106","url":null,"abstract":"Les systemes hamiltoniens sont a la base de la description des systemes physiques et des systemes commandes largement utilises dans les applications en mecanique, en automatique ou en robotique. Ce dossier contient un apercu des methodes modernes du calcul des variations appliquees a la recherche de solutions periodiques, homoclines ou heteroclines pour des systemes hamiltoniens de dimension finie. Des resultats de base y sont principalement presentes en mettant l'accent sur les idees sous-jacentes sans chercher a enoncer les hypotheses optimales.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"111 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2008-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"115720880","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2008-10-10DOI: 10.51257/a-v1-af1224
B. Philippe, Y. Saad
{"title":"Calcul des valeurs propres","authors":"B. Philippe, Y. Saad","doi":"10.51257/a-v1-af1224","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af1224","url":null,"abstract":"Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de matrices est un des probleme les plus importants en analyse numerique lineaire. Les techniques requerant la connaissance du spectre de matrices sont utilisees dans des domaines aussi varies que la mecanique quantique, l'analyse des structures, la theorie des graphes, les modeles de l'economie et le classement des pages de la Toile informatique par les moteurs de recherche. Par exemple, en mecanique des structures, les problemes de « resonances » ou de « vibrations » de structures mecaniques, decrits par l'analyse spectrale, se ramenent a des calculs de valeurs et de vecteurs propres. Les problemes non symetriques de valeurs propres apparaissent dans l'analyse de la stabilite de systemes dynamiques. Dans un tout autre domaine, la chimie quantique donne lieu a des problemes symetriques aux valeurs propres qui peuvent etre gigantesques, tant par leur taille que par le nombre de valeurs et de vecteurs propres a extraire. On peut egalement mentionner que la decomposition aux valeurs singulieres, qui est une sorte de generalisation de la decomposition spectrale classique, est primordiale en statistique et dans les problemes de la « nouvelle economie » (reconnaissance de formes, fouille de donnees, traitement du signal, exploitation de donnees, etc.). Les problemes de valeurs propres sont tres riches, tant par leur variete que par le type de matrices que l'on doit traiter et par les methodes et algorithmes de calcul a utiliser: les matrices peuvent etre symetriques ou non symetriques, creuses ou pleines, et les problemes peuvent etre classiques ou generalises ou meme quadratiques. Il existe des applications qui requierent le calcul d'un tres petit nombre de valeurs propres, d'autres au contraire un grand nombre de valeurs propres ou meme tout le spectre. On essaiera donc dans cet article de survoler les outils permettant de resoudre ces differents cas.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"18 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2008-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"114400128","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2008-04-10DOI: 10.51257/a-v1-af1253
C. Lemaréchal
{"title":"Optimisation et convexité","authors":"C. Lemaréchal","doi":"10.51257/a-v1-af1253","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af1253","url":null,"abstract":"L’optimisation peut se voir appliquer deux methodes bien differentes, le continu et le discret. L'optimisation continue et non differentiable se situe entre les deux : les methodes appartiennent au monde continu mais cependant 90 % des problemes relevent de l'optimisation discrete, il en est ainsi de la decoupe industrielle, des tournees de vehicules, et les problemes de grande taille. Apres avoir introduit la theorie de base et le probleme dual, cet article expose les algorithmes d’optimisation convexe avec notamment l’utilisation des methodes de sous-gradients puis de plans secants. Pour terminer, une petite digression est faite avec des cas non convexes.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"39 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2008-04-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"129889585","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2008-04-10DOI: 10.51257/a-v1-af1251
M. Minoux
{"title":"Optimisation en nombres entiers","authors":"M. Minoux","doi":"10.51257/a-v1-af1251","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af1251","url":null,"abstract":"De nos jours, les problemes d'optimisation continue lineaires ou convexes sont resolus assez facilement. Cependant, il n’en est pas de meme d’applications industrielles imposant des contraintes d'integrite sur tout ou partie des variables. Cet article introduit les principaux concepts et les principales methodes algorithmiques pour la resolution de problemes en nombres entiers en mettant l'accent sur les methodes exactes. Tout d’abord, le sujet est illustre a travers un exemple en productique, faisant apparaitre des caracteristiques distinctes des problemes en nombres entiers par rapport a l'optimisation continue. Ensuite, l’ensemble des principaux outils theoriques et algorithmiques permettant d'aborder la resolution exacte de tels problemes est presente.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"1 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2008-04-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"129294982","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2007-10-10DOI: 10.51257/a-v1-af600
Gerardo Rubino, B. Tuffin
{"title":"Simulations et méthodes de Monte Carlo","authors":"Gerardo Rubino, B. Tuffin","doi":"10.51257/a-v1-af600","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af600","url":null,"abstract":"Les methodes de Monte Carlo sont indispensables dans des domaines aussi varies que la finance, les telecommunications, la biologie ou encore les sciences sociales. Elles permettent de resoudre des problemes centres sur un calcul a l’aide du hasard. Cet article effectue une presentation de ces methodes, au travers dans un premier temps des principes de base (calcul de sommes et integrales, simulation a evenements discrets, etc.). Dans un second temps, une analyse de la precision de ces methodes est proposee : elle aborde notamment les intervalles de confiance, les replications independantes, les estimations par blocs, etc.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"4 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2007-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"124020874","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2007-10-10DOI: 10.51257/a-v1-af653
Ernst Hairer, Gerhard Wanner
{"title":"Intégration numérique des équations différentielles raides","authors":"Ernst Hairer, Gerhard Wanner","doi":"10.51257/a-v1-af653","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af653","url":null,"abstract":"Dans de nombreuses applications, la dynamique d'un systeme peut etre modelisee par des equations differentielles. L'etude de systemes mecaniques (par exemple en astronomie ou en dynamique moleculaire), l'analyse des circuits electriques ou la theorie du controle (robotique) nous fournissent de tels problemes. Souvent, pour les problemes dits raides, les methodes standards ne fournissent pas une solution correcte en un temps de calcul acceptable. Ce dossier recapitulatif explique les phenomenes qui apparaissent dans les equations differentielles raides, en s'appuyant sur des exemples issus des reactions chimiques ainsi que des equations aux derivees partielles discretisees en espace. Les proprietes essentielles des integrateurs numeriques pour la resolution des equations raides sont discutees (A-stabilite, domaine de stabilite). Pour des problemes generaux, les methodes de Runge-Kutta implicites, les methodes multipas (BDF) et les methodes d'extrapolation sont traitees. Pour des problemes raides particuliers de grande dimension sont egalement abordees les methodes explicites avec grande region de stabilite, les methodes de separation et les methodes implicites-explicites. Une liste de programmes informatiques du domaine public est donnee en Documentation [Doc. AF 653]. Comme references sur la resolution numerique des equations differentielles raides, le lecteur pourra consulter les ouvrages generaux suivants [1] [2] [3] [4] [5] [6], mentionnees en « Pour en savoir plus ».","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"4 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2007-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"127725529","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2007-10-10DOI: 10.51257/a-v1-af104
Guoting Chen, J. D. Dora
{"title":"Équations aux différences","authors":"Guoting Chen, J. D. Dora","doi":"10.51257/a-v1-af104","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af104","url":null,"abstract":"Les equations aux differences sont a la base de l'analyse appliquee depuis L. Euler, P. L. Tchebycheff et A. A. Markov. Actuellement elles sont le support de nombreux algorithmes d'analyse numerique et omnipresentes en combinatoire. Mais peut-on parler de theorie des equations aux differences ? La reponse est certainement non. Les equations aux differences non lineaires restent un sujet difficile et d'actualite pour les mathematiciens (au meme titre que les equations differentielles ordinaires, voir a ce sujet les articles « Equations differentielles lineaires » [AF 103J et « Equations differentielles » [AF 652]). Cependant, une partie de la theorie est bien comprise: c'est la partie relative aux equations aux differences lineaires. Dans cet expose nous nous limitons a en exposer les points fondamentaux.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"93 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2007-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"130940850","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2007-10-10DOI: 10.51257/a-v1-af111
B. Dacorogna
{"title":"Calcul des variations","authors":"B. Dacorogna","doi":"10.51257/a-v1-af111","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af111","url":null,"abstract":"Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathematiques. Il a attire un grand nombre de mathematiciens celebres. Avant de presenter le cas modele le plus important, nous allons commencer par une discussion informelle. En mathematiques, en physique, dans les sciences de l'ingenieur ou meme en economie ou en ecologie, les modeles sont souvent exprimes en termes d'un principe de minimalite ou de maximalite. C'est precisement la question centrale du calcul des variations. Par exemple, en mathematiques, on peut etre interesse a trouver, sous certaines contraintes, une courbe de longueur minimale ou une surface d'aire minimale. En physique, un exemple typique est le principe de moindre action ; d'autres exemples seront donnes dans cet expose de maniere plus detaillee. Par ailleurs, les lois de conservation, qui correspondent mathematiquement a des equations differentielles, sont souvent derivees a partir d'un principe variationnel. Les solutions du probleme variationnel sont alors des solutions d'equations differentielles associees.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"5 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2007-10-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"124746968","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
MathématiquesPub Date : 2007-04-10DOI: 10.51257/a-v1-af1400
C. Brezinski
{"title":"Aspects numériques du contrôle linéaire","authors":"C. Brezinski","doi":"10.51257/a-v1-af1400","DOIUrl":"https://doi.org/10.51257/a-v1-af1400","url":null,"abstract":"Un systeme peut evoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut definir alors une entree et une sortie. Lorsque la sortie depend lineairement de l'entree, on parle de controle lineaire. L'idee de base des methodes de ce type de controle est de determiner une fonction objectif qui est lineaire et des contraintes qui sont des inegalites matricielles lineaires. Cet article presente les notions de base du controle lineaire, puis expose les differentes parametres entre autres la controlabilite, l’observabilite, la representation canonique, et la reduction de modele, permettant d'aborder ce concept.","PeriodicalId":276511,"journal":{"name":"Mathématiques","volume":"43 1","pages":"0"},"PeriodicalIF":0.0,"publicationDate":"2007-04-10","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":null,"resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":"123451644","PeriodicalName":null,"FirstCategoryId":null,"ListUrlMain":null,"RegionNum":0,"RegionCategory":"","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":"","EPubDate":null,"PubModel":null,"JCR":null,"JCRName":null,"Score":null,"Total":0}
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