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摘要
在本文中,我们提出了 AK 经济增长模型在一个空间维度上的空间广义化,该模型在数学上用经济人均资本的线性抛物线偏微分方程以及相应的初始条件和边界条件来描述。考虑到同质 Dirichlet、同质 Neumann 和同质混合边界条件,我们得到了模型的傅里叶级数解,并给出了模型的数值示例。我们证明,同质诺依曼条件模型是非空间 AK 模型的自然空间概化。此外,我们还找到了经济储蓄率的最小临界值,以保证人均资本的长期持续增长,其中同质诺依曼条件的数值最低,与经济的地理规模无关;其次是混合和同质狄利克特条件,后两种情况下的最小值与经济的地理规模成反比。最后,本文提出的空间 AK 模型是经济学领域应用偏微分方程的一个有趣实例。
Uma versão espacial do modelo de crescimento econômico AK
Neste trabalho propomos uma generalização espacial do modelo de crescimento econômico AK em uma dimensão espacial, o qual é descrito matematicamente por uma equação diferencial parcial parabólica linear para o capital per capita da economia, com as correspondentes condições iniciais e de contorno. Obtemos soluções em série de Fourier para o modelo considerando condições de contorno de Dirichlet homogêneas, de Neumann homogêneas e mistas homogêneas, e apresentamos exemplos numéricos do modelo. Mostramos que o modelo com condições de Neumann homogêneas constitui generalização espacial natural do modelo AK não-espacial. Além disso, encontramos valores críticos mínimos para a taxa de poupança da economia, de forma a garantir o crescimento persistente do capital per capita no longo prazo, com as condições de Neumann homogêneas apresentando o menor valor, independente do tamanho geográfico da economia, seguido das condições do tipo mistas e Dirichlet homogêneas, com o valor mínimo dependendo inversamente do tamanho geográfico da economia nestes dois últimos casos. Por fim, o modelo AK espacial aqui proposto constitui exemplo interessante de aplicação de equações diferenciais parciais na área de Economia.