Неравенство для композиций выпуклых функций со свертками и альтернативное доказательство неравенства Брунна-Минковского-Кемпермана

Пусть $m(G)$ - точная нижняя грань объемов всех открытых подгрупп унимодулярной локально компактной группы $G$. Предположим, что интегрируемые функции $\phi _1,\phi _2: G\to [0,1]$ удовлетворяют условиям $\|\phi _1\|\leq \|\phi _2\|$ и $\|\phi _1\| + \|\phi _2\| \leq m(G)$, где $\|\kern 1pt{\cdot }\kern 1pt\|$ - норма пространства $L^1$ относительно меры Хаара $dg$ на $G$. В работе для любой выпуклой функции $f: [0,\|\phi _1\|]\to \mathbb R $ такой, что $f(0) = 0$, доказано неравенство $\int _{G} f \circ (\phi _1 * \phi _2)(g) dg \leq 2 \int _{0}^{\|\phi _1\|} f(y) dy + (\|\phi _2\| - \|\phi _1\|) f(\|\phi _1\|)$. Как следствие выводится несколько усиленная версия неравенства Брунна-Минковского-Кемпермана, а именно $\mathrm {vol}_*(B_1 B_2) \geq \mathrm {vol}(\{g\in G \mid 1_{B_1} * 1_{B_2}(g) > 0\}) \geq \mathrm {vol}(B_1) + \mathrm {vol}(B_2)$ для любых измеримых множеств $B_1,B_2 \subset G$ положительного объема таких, что $\mathrm {vol}(B_1) + \mathrm {vol}(B_2) \leq m(G)$, где $\mathrm {vol}_*$ - внутренняя мера, а $1_B$ - характеристическая функция множества $B$.