Линейные и мультипликативные отображения с условиями на спектр

Мультипликативная версия теоремы Глисона-Желязко-Кахана для $C^*$-алгебр, доказанная в статье [R. Brits, M. Mabrouk, C. Touré, A multiplicative Gleason-Kahane-Żelazko theorem for $C^\star$-algebras, J. Math. Anal. Appl., 500:1 (2021), 125089] Брица, Мабрука и Туре, обобщена на отображения из $C^*$-алгебр в коммутативные полупростые банаховы алгебры. В частности, доказано, что если мультипликативное отображение $\phi$ из $C^*$-алгебры $\mathcal{U}$ в коммутативную полупростую банахову алгебру $\mathcal{V}$ непрерывно на множестве всех необратимых элементов алгебры $\mathcal{U}$ и $\sigma(\phi(a)) \subseteq \sigma(a)$ для всякого $a \in \mathcal{U}$, то $\phi$ линейно. Кроме того, обобщена мультипликативная версия теоремы Ковальского-Слодковского, доказанная в статье [C. Touré, F. Schulz, R. Brits, Some character generating functions on Banach algebras, J. Math. Anal. Appl., 468:2 (2018), 704-715] Туре, Шульца и Брица. А именно, доказано, что если непрерывное отображение $\phi$ из $C^*$-алгебры $\mathcal{U}$ в коммутативную полупростую банахову алгебру $\mathcal{V}$ удовлетворяет условиям $\phi(1_\mathcal{U})=1_\mathcal{V}$ и $\sigma(\phi(x)\phi(y)) \subseteq \sigma(xy)$ для всех $x,y \in \mathcal{U}$, то $\phi$ порождает линейное мультипликативное отображение $\gamma_\phi$ на $\mathcal{U}$, которое совпадает с $\phi$ на главной компоненте группы обратимых элементов алгебры $\mathcal{U}$. Если в банаховой алгебре $\mathcal{U}$ спектр каждого элемента вполне несвязен, то само отображение $\phi$ линейно и мультипликативно на $\mathcal{U}$. Показано, что тот же результат получается в предположении полупростоты области определения отображения $\phi$ при более сильных условиях на спектры элементов. Приведены примеры, которые демонстрируют, что от некоторых условий в формулировках теорем отказаться нельзя.