Ordered Numerical Systems in Hilbert's "Grundlagen der Geometrie"

Abstract

Recentemente diversi studi hanno mostrato come la distanza tra i Grundlagen e le precedenti pubblicazioni di Hilbert non sia tanto abissale come ritenuto in passato, ma vi sia una significativa consequenzialita  con la teoria dei campi numerici. Nel ribadire questa visione, si intende mostrare come i risultati ottenuti da Hilbert, in particolare sui teoremi di Pappo e di Desargues, siano conseguenza di una ricerca piu ampia sulla possibilita di introdurre all’interno della geometria dei sistemi numerici atti a coordinatizzare il piano o lo spazio. Nello sviluppo della ricerca hanno avuto un ruolo determinante la scoperta di Hurwitz delle uniche quattro algebre di divisione normate  e le idee maturate, gia agli inizi della sua carriera, sulla finitezza degli strumenti da utilizzare in geometria, in particolare la rinuncia al concetto di continuita e la limitazione a sistemi numerici ordinati e numerabili. Nelle conclusioni dei Grundlagen , Hilbert rimarca l’importanza di dimostrare l’impossibilita delle assunzioni, tra cui l’impossibilita di determinare, attraverso solo relazioni geometriche di incidenza, dei sistemi numerici ordinati che abbiano le stesse proprieta dei quaternioni e degli ottonioni rispetto alle operazioni dell’aritmetica.