A Combinatorial Approach to the Number of Solutions of Systems of Homogeneous Polynomial Equations over Finite Fields

Abstract

We give a complete conjectural formula for the number $e_r(d,m)$ of maximum possible ${\mathbb{F}}q$-rational points on a projective algebraic variety defined by $r$ linearly independent homogeneous polynomial equations of degree $d$ in $m+1$ variables with coefficients in the finite field ${\mathbb{F}}q$ with $q$ elements, when $d

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有限域上齐次多项式方程组解个数的组合方法

当$d＜q$时，我们给出了由$m+1$变量中的$r$次线性独立齐次多项式方程定义的投影代数簇上最大可能${\mathbb｛F｝｝q$有理点的数目$e_r（d，m）$的一个完整的猜想公式，该方程具有$q$元素，在有限域中具有系数。结果表明，对于$r$的几个值，这个公式是肯定的。在一般情况下，我们给出了$e_r（d，m）$的显式下界和上界，并证明了它们有时是达到的。我们的方法使用了一个相对较新的结果，称为投影足迹界，以及极值组合学的结果，如Clements-Lindstr\“om定理及其变体。还包括在确定投影Reed-Muller码的广义Hamming权问题上的应用。

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