Partial generalized four moment theorem revisited

Abstract

This is a complementary proof of partial generalized 4 moment theorem (PG4MT) mentioned and described in “Generalized Four Moment Theorem (G4MT) and its Application to CLT for Spiked Eigenvalues of High-dimensional Covariance Matrices”. Since the G4MT proposed in that paper requires both the matrices X and Y satisfying the assumption maxt,s|uts|2E{|x11|4I(|x11|

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对部分广义四矩定理的再认识

这是“广义四矩定理（G4MT）及其在高维协方差矩阵尖峰特征值CLT中的应用”中提到和描述的部分广义4矩定理（PG4MT）的补充证明。由于该文提出的G4MT要求矩阵X和Y都满足假设maxt，s|uts|2E{|x11|4I（|x11|＜n）-μ}→0，这在实际应用中可能是限制性的，我们提出了一种新的G4MT，称为PG4MT，没有证据。在ArXiv提出手稿后，作者通过私人通信对PG4MT的证明产生了高度兴趣，并发现PG4MT比G4MT更通用，有必要对其进行详细的证明。此外，发现PG4MT导出了样本协方差矩阵的尖峰特征值的CLT，该CLT涵盖了Bai和Yao（J.Multivariate Anal.106（2012）167–177）作为特例的工作。

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