A noninequality for the fractional gradient

Abstract

In this paper we give a streamlined proof of an inequality recently obtained by the author: For every $\alpha \in (0,1)$ there exists a constant $C=C(\alpha,d)>0$ such that \begin{align*} \|u\|_{L^{d/(d-\alpha),1}(\mathbb{R}^d)} \leq C \| D^\alpha u\|_{L^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)} \end{align*} for all $u \in L^q(\mathbb{R}^d)$ for some $1 \leq q

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分数阶梯度的一个非不等式

本文给出了作者最近得到的一个不等式的一个简化证明：对于（0,1）$中的每一个$\alpha\，都存在一个常数$C=C（\alpha，d）>0$，使得对于L^q（\mathbb｛R｝^d）中的所有$u\，\ begin｛align*｝\|u\|_{L^｛d/（d-\alpha），1｝对于一些$1\leq q＜d/（1-\alpha）$，使得$d^\alpha u:=\abla I_｛1-\alpha｝u\在L^1（\mathbb｛R｝^d；\mathbb{R｝^d）$中。我们还举了一个反例，表明与$\alpha=1$的情况相反，分数梯度不允许$L^1$迹不等式，即$\|D^\alpha-u\|_{L^1（\mathbb｛R｝^D；\mathbb{R｝^ D）}$不能控制$u$相对于Hausdorff内容$\mathcal｛H｝^｛D-\alpha}_\infty$的积分。这个反例的主要内容是对Riesz变换的弱类型估计在空间$L^1（\mathcal｛H｝^｛d-\beta｝_\infty）$，$\beta\in[1，d）$上失败本身的兴趣的结果。Riesz转换的弱类型估计的失败是否扩展到$\beta\ in（0,1）$是一个悬而未决的问题。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。