Graph-to-local limit for the nonlocal interaction equation

Abstract

We study a class of nonlocal partial differential equations presenting a tensor-mobility, in space, obtained asymptotically from nonlocal dynamics on localizing infinite graphs. Our strategy relies on the variational structure of both equations, being a Riemannian and Finslerian gradient flow, respectively. More precisely, we prove that weak solutions of the nonlocal interaction equation on graphs converge to weak solutions of the aforementioned class of nonlocal interaction equation with a tensor-mobility in the Euclidean space. This highlights an interesting property of the graph, being a potential space-discretization for the equation under study.

Résumé. Nous étudions une classe d'équations aux dérivées partielles non locales présentant une mobilité tensorielle, dans l'espace, obtenue asymptotiquement à partir de dynamiques non locales sur des graphes infinis localisants. Notre stratégie repose sur la structure variationnelle des deux équations, qui sont respectivement un flot de gradients riemannien et finslérien. Plus précisément, nous prouvons que les solutions faibles de l'équation d'interaction non locale sur les graphes convergent vers des solutions faibles de la classe mentionnée d'équations d'interaction non locales avec une mobilité tensorielle dans l'espace euclidien. Cela met en évidence une propriété intéressante du graphe, à savoir une discrétisation spatiale potentielle pour l'équation étudiée.