H1 空间上的均值差不等式

\in {{ell }^{\infty }}(\mathbb{Z})\) such that \({{\left\| {{c}_{k}}} \right\|}_{{{{\ell }^{\infty }}}}} \leqslant 1\).定义 \(\mathcal{G}({{x}_{n}}) = \mathop {\sup }\limits_j \left| {\sum\limits_{k = 0}^j \,{{c}_{k}}}left({{x}_{{{{n}_{k + 1}}}}}} - {{x}_{{{{n}_{k}}}}}} \right)} \right|.\)现在让 \((X,\beta ,\mu ,\tau )\) 是一个遍历的、度量保持的动力系统，而 \((X,\beta ,\mu )\) 是一个完全\(\sigma \)-无限的度量空间。假设序列 \(({{n}_{k}})\) 是有隙的。那么我们证明以下结果：1.在 \(\mathbb{R}\) 上定义 \({{\phi }_{n}}(x) = \frac{1}{n}{{\chi }_{{[0,n]}}}(x)\) 。然后存在一个常数 \(C > 0\) 使得 \({{\left\| {\mathcal{G}({{\phi }_{n}} * f)} \right\|}_{{{{L}}^{1}}(\mathbb{R})}}}\leqslant C{{left\| f \right\|}_{{{{H}^{1}}(\mathbb{R})}},\) for all \(f \in {{H}^{1}}(\mathbb{R})\).2.让 \({{A}_{n}}f(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}.\f({{\tau }^{k}}x),\)是遍历理论中通常的遍历平均数。Then \({{left\| {\mathcal{G}({{A}_{n}}f)} \right\|}_{{{{L}^{1}}(X)}}}\leqslant C{{left\| f \right\|}_{{{{H}^{1}}(X)}},\}) for all \(f \in {{H}^{1}}(X)\).3.如果 \({{[f(x)\log (x)]}^{ + }}\) 是可积分的，那么 \(\mathcal{G}({{A}_{n}}f)\) 就是可积分的。