Hp 空间上的变分与λ-跳跃不等式

AbstractLet \(\phi \in \mathcal{S}\) with \(\int \phi (x){\kern 1pt} dx = 1\)、并定义 \({{\phi }_{t}}(x) = \frac{1}{{{{t}^{n}}}}\phi \left( {\frac{x}{t}} \right),\)and denote the function family\({{\ {{\phi }_{t}})* f(x)\}}_{{t > 0}}}) by \(\Phi * f(x)\).让 \(\mathcal{J}\) 是 \(\mathbb{R}}\) 的一个子集（或者更笼统地说，是一个有序索引集），并假设存在一个常数 \({{C}_{1}}\) 使得 \(\sum\limits_{t \in \mathcal{J}}){text{|}}{hat {\phi }}_{t}}(x){{{text{|}}}^{2}} < {{C}_{1}}}\)for all \(x \ in {{\mathbb{R}}^{n}}\).Then (i) There exists a constant \({{C}_{2}} > 0\) such that \({\text{||}}{\mathcal{V}}_{2}}(\Phi * f){\text{|}}{{\text{|}}_{{{{L}}^{p}}}}}\leqslant {{C}_{2}}{{text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}{{{{{{H}}^{p}}}}},\quad \frac{n}{{n + 1}} <；p leqslant 1\) for all \(f \in {{H}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})\), \(\frac{n}{{n + 1}} < p leqslant 1\).(ii) λ-jump 算子 \({{N}_{\lambda }}(\Phi * f)\) satisfies\({\text{||}}\lambda {{[{{N}_{\lambda }}(\Phi * f)]}^{1/2}}}}{{text{|}}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}}}}\leqslant {{C}_{3}}{text{||}}f{text{|}}{{{\text{|}}}{_{{{{H}}^{p}}}}},\quad \frac{n}{{n + 1}} < p \leqslant 1,\)在某个常数 \({{C}_{3}} > 0\) 下均匀地在\(\lambda > 0\) 中。