Обмеженість L -індексу за напрямком композиції функцій, цілих на зрізках, та функцій, голоморфних на зрізках в одиничній кулі

Abstract

УДК 517.55 Вивчається композиція   F ( z ) : = f ( Φ ( z ) , … , Φ ( z ) ︸ m ?????????? ) : ℂ n → ℂ , n ≥ 1 , m ≥ 1 , де Φ : 𝔹 n → ℂ — голоморфна на зрізках в одиничній кулі функція, а f : ℂ m → ℂ   — функція, голоморфна на зрізках в усьому m -вимірному комплекс\-ному просторі ℂ m , тобто зріз-функція g z ( τ ) = f ( z + b τ ) — ціла функція змінної τ ∈ ℂ при кожному фіксованому z ∈ ℂ m  та для заданого напрямку b ∈ ℂ m ∖ { 0 } . Голоморфність на зрізці в одиничній кулі 𝔹 n означає, що для заданого напрямку b ∈ ℂ n ∖ { 0 } і для кожної точки z 0 з одиничної кулі відповідна зріз-функція голоморфна на звуженні початкової функції на зрізку { z 0 + t b : t ∈ ℂ } ∩ 𝔹 n .  Додаткове припущення про сукупну неперервність для цих функцій дозволяє побудувати аналог теорії цілих функцій обмеженого індексу. Відповідні результати також застосовні до вивчення властивостей голоморфних на зрізках розв'язків диференціальних рівнянь з похідними за напрямком, описують локальне поводження та розподіл значень. Знайдено умови, достатні для обмеженості L -індексу за напрямком b для функції F ( z ) .  Деякі з отриманих результатів також нові в одновимірному випадку, а саме для n = 1 , m = 1 , тоді куля зводиться до одиничного круга. Відповідні умови знайдено двома різними підходами у теорії функцій обмеженого індексу: аналогом теореми Хеймана та аналогом логарифмічного критерію.  Також наведено приклади функцій, композиція яких задовольняє всі умови лише однієї з доведених теорем.