有参数极值的分数基尔霍夫问题的内哈里流形方法

摘要 在这项工作中，我们研究了以下非局部问题 $$\begin{aligned}\left\{（开始{对齐｝M(\Vert u\Vert ^2_X)(-\varDelta )^s u&= \lambda {f(x)}|u|^{\gamma -2}u+{g(x)}|u|^{p-2}u{}&{}。\text{ in }\ \varOmega , \ u&=0{} & {}\text{ on }\mathbb R^N\setminus \varOmega , \end{aligned}.\right。\end{aligned}$$ 其中 \(\varOmega \subset \mathbb R^N\) 是开放的、有光滑边界的， \(N>2s, s\in (0, 1), M(t)=a+bt^{\theta -1},\;t\ge 0\) with \( \theta >1, a\ge 0\) and\(b>0\) .指数满足（1<gamma<2<{2\theta<p<2^*_{s}=2N/(N-2s)}）（当（a\ne 0\）时）和（2<gamma<2\theta<p<2^*_{s}）（当（a=0\）时）。问题中涉及的参数 \(\lambda \)是实数和正数。由于非局部分数拉普拉斯算子以及非局部基尔霍夫项 \(M(\Vert u\Vert ^2_X)\) 的存在，所考虑的问题具有非局部性。其中 \(\Vert u\Vert ^{2}_{X}=\iint _{\mathbb R^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{left|x-y\right|^{N+2s}}dxdy\)。权重函数 \(f, g:\varOmega \rightarrow \mathbb R\) 是连续的，f 是正的，而 g 允许改变符号。本文通过基于纤化映射和 Nehari 流形的精细分析，对基尔霍夫退化和非退化情况下的参数极值（应用 Nehari 流形方法的临界值）进行了变化描述，以表明即使 \(\lambda \) 越过参数极值，也至少存在两个正解。