Lipschitz constants for a hyperbolic type metric under Möbius transformations

Pub Date : 2024-02-12 DOI:10.21136/cmj.2024.0366-23

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Abstract

Let D be a nonempty open set in a metric space (X, d) with ∂D ≠ Ø. Define $$h_{D,c}(x,y)=\log\left(1+c{{{d(x,y)}}\over{{\sqrt{d_{D}(x)d_{D}(y)}}}}\right).$$ where d_D(x) = d(x, ∂D) is the distance from x to the boundary of D. For every c ⩾ 2, h_D,c is a metric. We study the sharp Lipschitz constants for the metric h_D,c under Möbius transformations of the unit ball, the upper half space, and the punctured unit ball.

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莫比乌斯变换下双曲型度量的 Lipschitz 常量

定义 $$h_{D,c}(x,y)=\log\left(1+c{{d(x,y)}}over\{{sqrt{d_{D}(x)d_{D}(y)}}}}\right).$$ 其中 dD(x) = d(x, ∂D) 是 x 到 D 边界的距离。对于每一个 c ⩾ 2，hD,c 都是一个度量。我们将研究在单位球、上半空间和穿刺单位球的莫比乌斯变换下，度量 hD,c 的利普希兹常数。

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