Limit distributions of branching Markov chains

Abstract

Nous étudions les chaînes de Markov branchantes sur un espace d’états (espace de types) dénombrable X en mettant l’accent sur les aspects qualitatifs du comportement limite de l’évolution des distributions empiriques de la population. Aucune condition n’est imposée sur les distributions multitypes des descendants des points de X autre que d’avoir la même moyenne et de satisfaire à une condition de moment de type LlogL. Nous montrons que la martingale de population résultante est uniformément intégrable. Ensuite, nous établissons le lien entre la convergence des moyennes empiriques de la chaîne branchante et les espaces stationnaires de la chaîne de Markov ordinaire associée sur X (supposée irréductible et transiente). Notre résultat principal est la convergence presque sûre des distributions empiriques vers une mesure de probabilité aléatoire sur le bord d’une compactification appropriée de X. Les considérations finales portent sur l’interaction générale entre les bords mesurables de la chaîne branchante et de la chaîne ordinaire associée.