Η κατανόηση της πυκνής διάταξης των ρητών από μαθητές Β΄ Λυκείου: ένα διδακτικό πείραμα

Abstract

Η μετάβαση από τους φυσικούς στους ρητούς αριθμούς παρουσιάζει δυσκολίες για τους μαθητές, μέρος των οποίων οφείλεται στην καταχρηστική μεταφορά γνώσης για τους φυσικούς στους ρητούς. Μια ιδιότητα των φυσικών αριθμών που μεταφέρεται καταχρηστικά στους ρητούς είναι η διακριτότητα: Αντίθετα με το σύνολο των ρητών αριθμών, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι διακριτά διατεταγμένο, δηλαδή, για κάθε φυσικό αριθμό ορίζεται ο επόμενός του. Οι ρητοί αριθμοί είναι πυκνά διατεταγμένοι, δηλαδή, δεν ορίζεται ο επόμενος για κανέναν αριθμό στο σύνολο αυτό. Η προσέγγιση της θεωρίας πλαισίου στην εννοιολογική αλλαγή προβλέπει ότι οι θεμελιώδεις παραδοχές των μαθητών για τον αριθμό ως φυσικό δεν αίρονται δια μιάς, με την ιδέα της διακριτότητας να είναι ιδιαίτερα ανθεκτική. Στην εργασία παρουσιάζεται ένα διδακτικό πείραμα με 15 μαθητές Λυκείου. Εξετάσαμε την υπόθεση ότι διαφορετικές πτυχές της πυκνότητας των ρητών αριθμών (συγκεκριμένα, η απειρία των ρητών σε οποιοδήποτε διάστημα και η μη ύπαρξη του επόμενου), παρότι μαθηματικά ισοδύναμες, παρουσιάζουν διαφορετικές δυσκολίες για τους μαθητές. Η αρχική κατανόηση των μαθητών για την πυκνότητα ελέγχθηκε ατομικά. Κάθε μαθητής ξεχωριστά συμμετείχε σε μικρής διάρκειας παρέμβαση, στην οποία εισήχθη η ιδέα του αριθμητικού μέσου ενός διαστήματος ως εργαλείο που δυνητικά μπορεί να οδηγήσει στην κατανόηση και των δύο πτυχών της πυκνής διάταξης. Τέλος, κάθε μαθητής επανεξέτασε τις απαντήσεις του στα έργα του προελέγχου και παρακινήθηκε να αξιοποιήσει την ιδέα του αριθμητικού μέσου. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι οι μαθητές συνέχισαν να θεωρούν ότι υπάρχει ο επόμενος στους ρητούς, ακόμα και όταν συμπέραναν την απειρία των ενδιάμεσων. Υπό το πρίσμα της θεωρίας που υιοθετήσαμε, η αντίληψη αυτή είναι συνθετική, καθώς οι μαθητές αλλάζουν μερικώς την αντίληψή τους για τη διάταξη των ρητών, χωρίς να αίρεται η αρχή του επόμενου αριθμού.