Unfinished work in queueing system with the input stream diffusion intensity with zero ratio of drift

Abstract

Системы массового обслуживания (СМО) являются аналитическими моделями информационных сетей и их отдельных элементов. В данной работе строится математическая модель СМО в виде системы уравнений относительно нестационарных и стационарных характеристик незавершенной работы в СМО. Рассматривается СМО с бесконечной емкостью накопителя, одним обслуживающим прибором, произвольным обслуживанием с функцией распределения $B(x)$. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью $\lambda(t)\in[\alpha, \beta]$ с упругими границами. Диффузионный процесс $\lambda(t)$ имеет нулевой коэффициент сноса $a = 0$ и коэффициент диффузии $b > 0$. Цель данной работы – вывод уравнений относительно совместных распределений незавершенной работы и интенсивности входного потока в нестационарном и стационарном режимах. Для вывода уравнений относительно характеристик СМО применяется динамика Колмогорова. В теореме 1 приводится вывод уравнения для нестационарного распределения незавершенной работы СМО в нестационарном режиме. Получены начальные и краевые условия, уравнения для внутренних и граничных точек. Вывод уравнений осуществлен с помощью полумарковского процесса, аппроксимирующего диффузионный процесс. Показано, что диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса $a = 0$ и коэффициентом диффузии $b > 0$ получается из полумарковского процесса в результате предельного перехода. В теореме 2 приводится вывод уравнения для стационарного распределения незавершенной работы СМО в стационарном режиме. Получены краевые условия.