Сохранение свойства безусловной базисности при несамосопряженных возмущениях самосопряженных операторов

Abstract

Пусть $T$ - самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $H$ с областью определения $\mathcal D(T)$. Предположим, что спектр этого оператора лежит в объединении непересекающихся интервалов $\Delta_k =[\alpha_{2k-1},\alpha_{2k}]$, $k\in \mathbb{Z}$, длины лакун между которыми подчинены неравенствам $$ \alpha_{2k+1}-\alpha_{2k} \geqslant b |\alpha_{2k+1}+\alpha_{2k}|^p\quad при некоторых b>0,\;p\in[0,1). $$ Пусть линейный оператор $B$ является $p$-подчиненным оператору $T$, т. е. $\mathcal D(B) \supset\mathcal D(T)$ и $\|Bx\|\leqslant b'\|Tx\|^p\|x\|^{1-p} +M\|x\|$ для любого $x\in \mathcal D(T)$ с некоторыми $b'>0$ и $M\geqslant 0$. Тогда в случае $b>b'$ прямые $\gamma_k = \{\lambda\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re} \lambda = (\alpha_{2k} + \alpha_{2k+1})/2\}$ при больших $|k|\geqslant N$ лежат в резольвентном множестве возмущенного оператора $A=T+B$. Пусть $Q_k$ - проекторы Рисса, отвечающие за спектр оператора $A$ между прямыми $\gamma_k$ и $\gamma_{k+1}$ при $|k|\geqslant N$, а $Q$ - проектор Рисса на оставшуюся ограниченную часть спектра оператора $A$. Основной результат: система инвариантных подпространств $\{Q_k(H)\}_{|k|\geqslant N}$ вместе с инвариантным подпространством $Q(H)$ образует безусловный базис из подпространств в гильбертовом пространстве $H$. Мы доказываем также обобщение этой теоремы на случай, когда в любой из лакун $(\alpha_{2k},\alpha_{2k+1})$, $k\in\mathbb{Z}$, может присутствовать конечный набор собственных значений оператора $T$.