О сумме тригонометрического синус-ряда с монотонными коэффициентами

Abstract

Доказывается, что для каждого натурального $n$ сопряженное ядро Дирихле $\widetilde {D}_n(x)=\sum _{k=1}^{n}\sin (kx)$ полуаддитивно на отрезке $[0,2\pi ]$, т.е. для любых неотрицательных чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 + x_2\le 2\pi $, справедливо неравенство $\widetilde {D}_n(x_1) + \widetilde {D}_n(x_2) \ge \widetilde {D}_n(x_1 + x_2)$, причем в случае, если числа $x_1$ и $x_2$ положительны и $x_1 + x_2 < 2\pi $, равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\widetilde {D}_n(x_1) = \widetilde {D}_n(x_2) = \widetilde {D}_n(x_1 + x_2) = 0$. Это свойство сопряженного ядра Дирихле используется при изучении суммы синус-ряда с монотонными коэффициентами. Также рассмотрены свойства некоторых неотрицательных тригонометрических полиномов.