Емкость спектра значений ветвящихся случайных блужданий в пространствах малых размерностей

Abstract

Рассматривается ветвящееся случайное блуждание $(V_u)_{u\in \mathcal T^{\mathrm{IGW}}}$ в пространстве $\mathbb Z^d$ с генеалогическим деревом $\mathcal T^{\mathrm{IGW}}$, образованным последовательностью независимых одинаково распределенных критических деревьев Гальтона-Ватсона. Пусть $R_n$ - множество точек в пространстве $\mathbb Z^d$, которые посещает ветвящееся случайное блуждание $(V_u)$, когда индекс $u$ пробегает первые $n$ поддеревьев дерева $\mathcal T^{\mathrm{IGW}}$. Основной результат работы состоит в том, что для $d\in \{3,4,5\}$ при $n\to \infty $ емкость множества $R_n$ имеет почти наверное порядок $n^{(d-2)/{2}+o(1)}$.