Negative $\lambda$-binomial regression in dose-effect relationship

Abstract

Эта статья посвящена проблеме оценки функции распределения и ее квантилей в зависимости доза-эффект с непараметрической отрицательной $\lambda$-биномиальной регрессией. Здесь предложены ядерные оценки функции распределения, ядро которых взвешивается отрицательной $\lambda$-биномиальной случайной величиной при каждой ковариате. Наши оценки состоятельны, т.е. сходятся к своим оптимальным значениям когда число наблюдений $n$ возрастает до бесконечности. Показано, что эти оценки имеют меньшую асимптотическую дисперсию по сравнению, в частности, с оценками типа Надарая-Ватсона и других оценок. Представлены непараметрические оценки квантилей, полученные путем инвертирования ядерной оценки функции распределения. Асимптотическая нормальность этих оценок с поправкой на смещение сохраняется при некоторых условиях регулярности. В первой части анализируются соотношения между моментами отрицательного $\lambda$-биномиального распределения. Получена новая характеризация распределения Пуассона. This paper is concern to the problem of estimating the distribution function and its quantiles in the dose-effect relationships with nonparametric negative $\lambda$-binomial regression. Here, a kernel-based estimators of the distribution function are proposed, of which kernel is weighted by the negative $\lambda$-binomial random variable at each covariate. Our estimates are consistent, that is, they converge to their optimal values in probability as $n$, the number of observations, grow to infinity. It is shown that these estimates have a smaller asymptotic variance in comparison, in particular, with estimates of the Nadaray-Watson type and other estimates. Nonparametric quantiles estimators obtained by inverting a kernel estimator of the distribution function are offered. It is shown that the asymptotic normality of this bias-adjusted estimator holds under some regularity conditions. In the first part, the relations between the moments of the negative $\lambda$-binomial distribution are analyzed. A new characterization of the Poisson distribution is obtened.