О точных оценках производных четного порядка в пространствах Соболева

Abstract

В статье рассматриваются нормы операторов вложения соболевских пространств $\mathring{W}^n_2[0;1]\hookrightarrow\mathring{W}^k_\infty[0;1]$ ($0\leqslant k\leqslant n-1$). Изучаются наименьшие возможные величины $A^2_{n,k}(x)$ в неравенствах $|f^{(k)}(x)|^2\leqslant A^2_{n,k}(x)\|f^{(n)}\|^2_{L_2[0;1]}$ ($f\in \mathring{W}^n_2[0;1]$). На основе соотношений между функциями $A^2_{n,k}(x)$ и первообразными полиномов Лежандра устанавливаются свойства максимумов функций $A^2_{n,k}(x)$. Показано, что при всех $k$ точкой глобального максимума функции $A^2_{n,k}$ на отрезке $[0;1]$ является точка локального максимума, ближайшая к середине отрезка, в частности, при четных $k$ такой точкой является $x=1/2$. Для всех четных $k$ найдена явная формула для норм операторов вложения.