Бесконечнозначная логика Лукасевича и ряды Фарея

Abstract

В статье будет рассказано о связи между критерием Мак-Нотона для бесконечнозначной логики Лукасевича, простыми числами и рядами Фарея. Дано определение простого числа в терминах бесконечнозначной логики Лукасевича. В соответствии с критерием Мак-Нотона, множество функций бесконечнозначной логики Лукасевича совпадает с множеством непрерывных кусочно-линейных функций особого вида. В докладе показано, что простота числа $n$ зависит от существования таких функций бесконечнозначной логики Лукасевича, что ограничение каждой из них на соответствующую конечнозначную логику Лукасевича совпадает со значением функций $N_{1/n}(x)$. При этом каждая такая функция имеет кусочно-линейные эквиваленты, линейные коэффициенты которых могут быть найдены с помощью подходящих рядов Фарея. А именно, возникает возможность охарактеризовать все линейные функции, проходящие через точку с координатами $(\frac{i}{n},\frac{1}{n})$. Действительно, все такие функции описываются уравнениями вида $f(x)=b+kx$ с целыми коэффициентами $b$ и $k$, что $\frac{1}{n}=b+k\frac{i}{n}$, что позволяет отыскать данные коэффициенты в подходящих рядах Фарея. DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-123-128