Ультраэллиптические интегралы и двумерные сигма-функции

Abstract

Статья посвящена классической задаче обращения ультраэллиптических интегралов, задаваемых базисными голоморфными дифференциалами на кривой рода 2. Базисные решения $F$ и $G$ этой задачи получены из однозначной 4-периодической мероморфной функции на абелевом накрытии $W$ универсальной гиперэллиптической кривой рода 2. В качестве $W$ мы используем неособую аналитическую кривую $W=\{\mathbf{u}=(u_1,u_3)\in\mathbb{C}^2:\sigma(\mathbf{u})=0\}$, где $\sigma(\mathbf{u})$ - двумерная сигма-функция. Показано, что $G(z)=F(\xi(z))$, где $z$ - локальная координата в окрестности точки гладкой кривой $W$, а $\xi(z)$ - гладкая функция в этой окрестности, задаваемая уравнением $\sigma(u_1,\xi(u_1))=0$. Получены: дифференциальные уравнения для функций $F(z)$, $G(z)$ и $\xi(z)$, рекуррентные формулы для коэффициентов разложения в ряды этих функций, преобразование функции $G(z)$ в $\wp$-функцию Вейерштрасса при деформации кривой рода 2 в эллиптическую кривую.