On Abel summation for Laplace transform of the homogeneous functions in $R^n$

Abstract

В статье рассматриваются однородные функции, имеющие вид $\theta \left(\tau \right)\left|t\right|^{\alpha },$ гдепорядок однородности $\alpha >-n$, а $\theta \left(\tau\right)$ - функция на единичной сфере $S^{n-1}=\left\{t{\in}R^n, \left|t\right|=1\right\}$. При вычислении преобразования Лапласа этих функций с носителем востром конусе необходимо получить их явное представление. Это достигается суммированием интегралов по Абелю, а также применением Фурье-анализа на сфере, позволяющих свести вычисления к преобразованиям гипергеометрических функций, необходимых для вычисления пределов при $\varepsilon \rightarrow 0.$ В статье представлены формулы преобразования Лапласа однородных функций для различных функциональных пространств на единичной сфере. The article discusses homogeneous functions of the form $\theta \left(\tau \right)\left|t\right|^{\alpha }$, which aredetermined by the order of homogeneity $\alpha >-n$, as well as by the function $\theta \left(\tau \right)$ on the unit sphere $S^{n-1}=\left\{t{\in}R^n,\left|t\right|=1\right\}$. When calculating the Laplace transform of these functions supported in a sharp cone, it is necessary to obtain an explicit representation. This is achieved by summing integrals according to Abel, as well as by applying Fourier analysis on the sphere, which will allow to bring calculations to transformations of hypergeometric functions necessary to calculate the limits as $\varepsilon \rightarrow 0$. The article presents formulas for the Laplace transform of homogeneous functions for various function spaces on the unit sphere.