Ordenação entre potências simétricas nos inteiros positivos

Abstract

É comum que apareçam desafios matemáticos do tipo: qual é o maior valor, 20^(33) ou 33^(20)? Incentivados por esse tipo de problema de comparação entre potências simétricas, neste artigo demonstraremos que, para quaisquer que sejam x e y inteiros positivos, com y>x>1, vale a desigualdade (x^y)>(y^x), com exceção dos pares y=3, x=2 e y=4, x=2. Isto é, a menos dessas duas exceções, a potência x^y de maior expoente é maior que a potência y^x de maior base. Vamos utilizar, para tanto, o princípio de indução, derivadas elementares e o limite fundamental exponencial.