Центр Бернштейна в натуральной характеристике

Abstract

Пусть $G$ - локально проконечная группа и $k$ - поле положительной характеристики $p$. Пусть $Z(G)$ - центр группы $G$, а $\mathfrak Z(G)$ - ее центр Бернштейна, т.е. $k$-алгебра естественных эндоморфизмов тождественного функтора на категории гладких $k$-линейных представлений группы $G$. В работе показано, что если $G$ содержит открытую про-$p$-подгруппу, но не содержит собственных открытых централизаторов, то существует естественный изоморфизм $k$-алгебр $\mathfrak Z(Z(G)) \xrightarrow {\cong } \mathfrak Z(G)$. Кроме того, центр Бернштейна $\mathfrak Z(Z(G))$ описан явно как некоторое пополнение абстрактного группового кольца $k[Z(G)]$. Оба условия на $G$ выполнены, если $G$ является группой точек произвольной связной гладкой алгебраической группы, определенной над локальным полем с полем вычетов характеристики $p$. В частности, показано, что если алгебраическая группа полупроста, то $\mathfrak Z(G) = k[Z(G)]$.