Слабое отношение следования между $\lambda$-термами

Abstract

Язык $\lambda $-исчисления находит широкое применение для решения задач в логике, информатике, лингвистике и искусственном интеллекте. Само $ \lambda $-исчисление строится вокруг базисного отношения между термами, которое называется $ \beta $-редукцией. В предлагаемом докладе для типизированного в смысле Карри $ \lambda $-исчисления формулируется более слабое отношение между термами, которое может как иметь самостоятельное значение, так и позволить установить более тонкие связи между логикой и $ \lambda $-исчислением. Основная идея заключается в том, что при приписывании терму X типа $ \alpha $ относительно контекста $ \varGamma $, что записывается в виде $ \varGamma \vdash X:\alpha $, понятие контекста играет роль, аналогичную понятию модели в логике. Если в логике выражение $ M \vDash A $ означает, что формула $ A $ истинна в модели $ M $, то в типизированном $\lambda $-исчислении выражение $ \varGamma \vdash X:\alpha $ означает, что в контексте $ \varGamma $ терму $ X $ приписан тип $ \alpha $, и этот терм имеет значение, которое может быть вычислено. В логике отношение следования между формулами $ A $ и $ B $ определяют как $ A\vDash B \Leftrightarrow \forall M(M\vDash A \Rightarrow M\vDash B) $. Если перенести эту схему в $ \lambda $-исчисление, то отношение $ \lambda $-следования между темами может быть определено как $ X \vDash _{\lambda} Y \Leftrightarrow \forall \varGamma \in Ctx [\exists\alpha(\varGamma \vdash X:\alpha) \Rightarrow \exists\beta(\varGamma \vdash Y:\beta)] $. Смысл этого отношения заключается в том, что в каждом контексте, в котором терму $ X $ может быть приписан некоторый тип, терму $ Y $ также может быть приписан некоторый тип. Иными словами, если вычислима функция, представленная термом $ X $, то вычислима функция, представленная термом $ Y $. Отношение $ \lambda $-следования обладает многими свойствами, присущими классическому отношению следования между формулами логики, а также рядом новых свойств, характерных для $ \lambda $-исчисления с типами. DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-151-157