Значения весовой системы, отвечающей алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$, на полных двудольных графах

Abstract

В теории Васильева инварианты узлов конечного порядка описываются в терминах весовых систем - функций на хордовых диаграммах, удовлетворяющих 4-членным соотношениям. В частности, весовая система сопоставляется крашеному многочлену Джонса. Ее легко описать в терминах алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ (так называемая $\mathfrak{sl}_2$-весовая система), однако вычисление ее значения на конкретной хордовой диаграмме является вычислительно сложной задачей, и, как следствие, ее явные значения известны лишь для весьма узких семейств хордовых диаграмм. В статье дана явная формула для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на семействе хордовых диаграмм, состоящем из диаграмм, граф пересечений которых является полным двудольным с числом вершин в одной из долей не более трех. Основным инструментом в вычислении является рекуррентное соотношение Чмутова-Варченко. Кроме того, мы выводим явные формулы для проекции на подпространство примитивных элементов вдоль пространства разложимых в подалгебрах Хопфа алгебры Хопфа графов, порожденных полными двудольными графами с числом вершин в одной из долей не более трех. Как результат мы вычисляем значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях хордовых диаграмм с такими графами пересечений. Полученные нами результаты подтверждают ряд гипотез С. К. Ландо о значениях $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях хордовых диаграмм на подпространство примитивных элементов.подпространство примитивных.