Об оценках объема нулей голоморфной функции, зависящей от комплексного параметра

Abstract

Для голоморфной функции $f(\sigma,z)$, $\sigma\in\mathbb{C}^{m}$, $z\in\mathbb{C}^{n}$, дается равномерная по $\sigma $ оценка объема нулей множества $z\colon f(\sigma,z)=0\}$. Такие оценки очень полезны в вопросах изучения осциллирующих интегралов $$ J(\lambda,\sigma)=\int_{\mathbb{R}^{n} }a(\sigma, x)e^{i\lambda \Phi (\sigma, x)} dx $$ при $\lambda \to \infty $. Здесь $a(\sigma, x)\in C_{0}^{\infty } (\mathbb{R}^{n} \times\mathbb{R}^{m})$ - так называемая амплитудная функция и $\Phi (\sigma, x)$ - функция фазы. Библиография: 9 названий.