О выразительных возможностях максимально паранепротиворечивых и параполных четырехзначных расширений FDE

Abstract

Статья посвящена замкнутым классам функций четырехзначной логики, которые могут быть порождены системами элементарных операций характеристических матриц для таких языковых расширений логики $\mathbf{FDE}$, которые являются одновременно максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. Мы начинаем с представления необходимых и достаточных условий, которым должны отвечать четырехзначные языковые расширения $\mathbf{FDE}$, чтобы быть максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. В обоих случаях критерии максимальности связаны с наличием в матрице рассматриваемого расширения операторов определенного рода, из-за которых это расширение не является подлогикой трехзначного языкового расширения логики Асеньо--Приста $\mathbf{LP}$ --- в случае паранепротиворечивости, и логики Клини $\mathbf{K_{3}}$ --- в случае параполноты. Далее, опираясь на теорему Бэйкера--Пиксли, мы даем описание такого множества из 5 одноместных и 20 двухместных предикатов, что любой замкнутый класс функций, порожденный системой элементарных операций четырехзначной характеристической матрицы языкового расширения $\mathbf{FDE}$, есть класс функций, сохраняющих одно из подмножеств данного множества. Это дает простой алгоритм сравнения выразительных возможностей любых произвольно взятых четырехзначных языковых расширений $\mathbf{FDE}$. Кроме того, принимая во внимание, что в приведенное множество предикатов включаются все предикаты, описывающие предполные классы функций четырехзначной логики, которые сохраняются операциями характеристической матрицы $\mathbf{FDE}$, мы приводим критерии функциональной полноты и предполноты для множества всех операций любой четырехзначной матрицы, характеризующей языковое расширение $\mathbf{FDE}$. Наконец, используя критерии максимальной паранепротиворечивости и параполноты, а также список предикатов для расширений $\mathbf{FDE}$, представленные в статье, мы идентифицируем все 14 множеств предикатов, описывающих замкнутые классы, которые соответствуют четырехзначным характеристическим матрицам тех расширений $\mathbf{FDE}$, которые являются одновременно максимально паранепротиворечивыми и максимально параполными. Это позволяет нам не только перечислить все замкнутые классы, соответствующие максимально паранепротиворечивым и параполным четырехзначным языковым расширениям $\mathbf{FDE}$, но и упорядочить их по включению.