Normal forms of analytic perturbations of quasihomogeneous vector fields: Rigidity, invariant analytic sets and exponentially small approximation

Dans cet article, nous etudions des germes de champs de vecteurs holomorphes qui sont des perturbations « d'ordres superieurs » de champs de vecteurs quasi-homogenes au voisinage de l'origine de ℂ n , point fixe des champs consideres. Nous definissons une condition « diophantienne » sur le champ quasi-homogene initial S qui assure que si une telle perturbation de S est formellement conjuguee a S alors elle l'est aussi holomorphiquement. Nous etudions le probleme de mise sous forme normale relativement a S. Nous donnons une condition suffisante assurant l'existence d'une transfor- mation holomorphe vers une forme normale. Lorsque cette condition n'est pas satisfaite, nous mon- trons neanmoins, sous une condition raisonnable, l'existence d'une normalisation formelle Gevrey vers une forme normale Gevrey. Enfin, nous montrons l'existence d'une approximation exponentiellement bonne de la dynamique par une forme normale partielle.