The localization transition in the Aubry model through maps

The equation of motion for the wave function of the 1-d Aubry model is analyzed through a 3-d map which couples the modulation parameter γ and the integrated density of states k. Numerical results are presented for constant γ and k for energy E=0 as a function of the potential strength V. The localization transition is found at V=2 as the disappearance of a well defined curve into a cloud of points. The curves grow in complexity when approaching the critical value from below. We define a mean radius for the xy-plane projection of the 3-d map and we show numerically that it converges to a finite constant for V L'equation de mouvement pour le modele d'Aubry unidimensionnel est etudiee a l'aide d'une application 3-d qui couple le parametre de modulation γ avec la densite d'etats integree k. Nous presentons des resultats numeriques pour l'energie E=0 et pour γ et k constants en fonction du potentiel V. Pour V=2 la transition de localisation se manifeste par le passage d'une courbe bien definie a un nuage de points. La complexite des courbes augmente lorsqu'on approche par en dessous la valeur critique. Nous definissons un rayon moyen pour la projection sur le plan x-y de l'application 3-d et nous montrons numeriquement qu'il converge vers une constante finie pour V<2. D'autre part, son comportement critique est analyse pour un γ egal au nombre d'or. Finalement, nous discutons des resultats anterieurs sur la chaine desordonnee