Spectrum of 2D Bloch electrons in a periodic magnetic field : algebraic approach

Algebraic methods recently introduced for 2D Bloch electrons in a uniform magnetic field are extended to the case of periodic magnetic fields. Using a semiclassical approach, we investigate the case where the magnetic unit cell is commensurate with the lattice unit cell. In general and according to the values φ of the average flux through the magnetic unit cell, two distinct cases take place. The first one corresponds to finite values of φ, where the usual structure of Landau levels is recovered (non commutative case). In the second case where φ=0, a non trivial band structure is obtained (commutative case). Our results are illustrated by simple examples. In particular we show that, under certain conditions, the mechanism of stabilization of the Fermi sea by the gaps (with one quantum flux per fermion) holds in the general case of periodic magnetic fields Les methodes algebriques que l'on a introduites recemment pour l'etude des electrons de Bloch sous champ magnetique uniforme sont generalisees au cas des champs periodiques. En utilisant une approche semi-classique, on etudie le cas ou la maille magnetique uniforme sont generalisees au cas des champs periodiques. En utilisant une approche semi-classique, on etudie le cas ou la maille magnetique est commensurable avec celle du reseau. En general et selon la valeur φ du flux magnetique moyen a travers la cellule elementaire, deux cas distincts semblent se distinguer. Le premier cas est φ¬=0, ou la structure en niveaux de Landau est retrouvee (cas non commutatif). Dans le second cas φ=0, on obtient une structure de bandes non triviale (cas commutatif). Nos resultats sont illustres avec des exemples simples. En particulier on montre, sous certaines conditions, que le mecanisme de stabilisation de la mer de Fermi, avec un quantum de flux par fermion, se generalise au cas d'un champ magnetique periodique