具有一般粗糙噪声的随机热方程

IF 1.5 Q2 PHYSICS, MATHEMATICAL
Yaozhong Hu, Xiongrui Wang
{"title":"具有一般粗糙噪声的随机热方程","authors":"Yaozhong Hu, Xiongrui Wang","doi":"10.1214/21-aihp1161","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"We study the well-posedness of a nonlinear one dimensional stochastic heat equation driven by Gaussian noise: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , where Ẇ is white in time and fractional in space with Hurst parameter H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). In a recent paper [12] by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel a technical and unusual condition of σ(0) = 0 was assumed which is critical in their approach. The main effort of this paper is to remove this condition. The idea is to work on a weighted space Z λ,T for some power decay weight λ(x) = cH(1 + |x| 2)H−1. In addition, when σ(u) = 1 we obtain the exact asympotics of the solution uadd(t, x) as t and x go to infinity. In particular, we find the exact growth of sup|x|≤L |uadd(t, x)| and the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β and sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Abstract. Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα .","PeriodicalId":42884,"journal":{"name":"Annales de l Institut Henri Poincare D","volume":null,"pages":null},"PeriodicalIF":1.5000,"publicationDate":"2022-02-01","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"5","resultStr":"{\"title\":\"Stochastic heat equation with general rough noise\",\"authors\":\"Yaozhong Hu, Xiongrui Wang\",\"doi\":\"10.1214/21-aihp1161\",\"DOIUrl\":null,\"url\":null,\"abstract\":\"We study the well-posedness of a nonlinear one dimensional stochastic heat equation driven by Gaussian noise: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , where Ẇ is white in time and fractional in space with Hurst parameter H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). In a recent paper [12] by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel a technical and unusual condition of σ(0) = 0 was assumed which is critical in their approach. The main effort of this paper is to remove this condition. The idea is to work on a weighted space Z λ,T for some power decay weight λ(x) = cH(1 + |x| 2)H−1. In addition, when σ(u) = 1 we obtain the exact asympotics of the solution uadd(t, x) as t and x go to infinity. In particular, we find the exact growth of sup|x|≤L |uadd(t, x)| and the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β and sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Abstract. Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα .\",\"PeriodicalId\":42884,\"journal\":{\"name\":\"Annales de l Institut Henri Poincare D\",\"volume\":null,\"pages\":null},\"PeriodicalIF\":1.5000,\"publicationDate\":\"2022-02-01\",\"publicationTypes\":\"Journal Article\",\"fieldsOfStudy\":null,\"isOpenAccess\":false,\"openAccessPdf\":\"\",\"citationCount\":\"5\",\"resultStr\":null,\"platform\":\"Semanticscholar\",\"paperid\":null,\"PeriodicalName\":\"Annales de l Institut Henri Poincare D\",\"FirstCategoryId\":\"1085\",\"ListUrlMain\":\"https://doi.org/10.1214/21-aihp1161\",\"RegionNum\":0,\"RegionCategory\":null,\"ArticlePicture\":[],\"TitleCN\":null,\"AbstractTextCN\":null,\"PMCID\":null,\"EPubDate\":\"\",\"PubModel\":\"\",\"JCR\":\"Q2\",\"JCRName\":\"PHYSICS, MATHEMATICAL\",\"Score\":null,\"Total\":0}","platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"Annales de l Institut Henri Poincare D","FirstCategoryId":"1085","ListUrlMain":"https://doi.org/10.1214/21-aihp1161","RegionNum":0,"RegionCategory":null,"ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"Q2","JCRName":"PHYSICS, MATHEMATICAL","Score":null,"Total":0}
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摘要

我们研究了一个由高斯噪声驱动的非线性一维随机热方程的适定性:∂u∂t =∂u∂x2 + σ(u)Ẇ,其中Ẇ在时间上是白色的,在空间上是分数阶的,Hurst参数H∈(1,4,1,2)。在Hu, Huang, Lê, Nualart和Tindel最近的一篇论文[12]中,假设σ(0) = 0的技术和异常条件,这是他们方法的关键。本文的主要工作就是消除这种状况。这个想法是在一个加权空间Z λ T上工作,对于一些功率衰减权λ(x) = cH(1 + |x| 2)H−1。另外,当σ(u) = 1时,我们得到了解uadd(t, x)在t和x趋于无穷时的确切渐近性。特别地,我们发现sup|x|≤L |uadd(t,x)|的精确增长和Hölder系数的急剧增长,即sup|x|≤L |uadd(t,x+h) - uadd(t,x)| |h|β和sup|x|≤L |uadd(t+τ,x) - uadd(t,x)| τα。摘要Nous日新月异的 空间非空间型的 与其他所有的空间型的,与其他所有的空间型的相同:∂u∂t =∂u∂x2 + σ(u)Ẇ, où Ẇ est blanc dans le temps et partitionnaire dans le espace avec le param tre Hurst H∈(1,1,12)。[12]胡佩尔,黄,Lê, Nualart等。一种条件技术et inhabituelle de σ(0) = 0 a - samuest est方法。主要工作是编制文件,测试供应商的测试条件。L ' idsamuest de travailler sur un espace pondsamuise r Z λ,T pour on certain poids de dsamuise de puissance λ(x) = cH(1+|x|)。洛斯克σ(u) = 1,它的渐近性与解(t, x)的渐近性一致,因为t = x =∞。具体来说,nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t,x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c 'est -àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h) - uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x) - uadd(t,x)| τα。Nous日新月异的 空间非空间型的 与其他所有的空间型的,与其他所有的空间型的相同:∂u∂t =∂u∂x2 + σ(u)Ẇ, où Ẇ est blanc dans le temps et partitionnaire dans le espace avec le param tre Hurst H∈(1,1,12)。[12]胡佩尔,黄,Lê, Nualart等。一种条件技术et inhabituelle de σ(0) = 0 a - samuest est方法。主要工作是编制文件,测试供应商的测试条件。L ' idsamuest de travailler sur un espace pondsamuise r Z λ,T pour on certain poids de dsamuise de puissance λ(x) = cH(1+|x|)。洛斯克σ(u) = 1,它的渐近性与解(t, x)的渐近性一致,因为t = x =∞。具体来说,nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t,x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c 'est -àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h) - uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x) - uadd(t,x)| τα。
本文章由计算机程序翻译,如有差异,请以英文原文为准。
Stochastic heat equation with general rough noise
We study the well-posedness of a nonlinear one dimensional stochastic heat equation driven by Gaussian noise: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , where Ẇ is white in time and fractional in space with Hurst parameter H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). In a recent paper [12] by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel a technical and unusual condition of σ(0) = 0 was assumed which is critical in their approach. The main effort of this paper is to remove this condition. The idea is to work on a weighted space Z λ,T for some power decay weight λ(x) = cH(1 + |x| 2)H−1. In addition, when σ(u) = 1 we obtain the exact asympotics of the solution uadd(t, x) as t and x go to infinity. In particular, we find the exact growth of sup|x|≤L |uadd(t, x)| and the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β and sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Abstract. Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα . Nous étudions une équation de chaleur stochastique á une dimension spatiale non linéaire entrânée par le bruit gaussien: ∂u ∂t = ∂ u ∂x2 + σ(u)Ẇ , où Ẇ est blanc dans le temps et fractionnaire dans le espace avec le paramètre Hurst H ∈ ( 1 4 , 1 2 ). Dans un article récent [12] par Hu, Huang, Lê, Nualart et Tindel une condition technique et inhabituelle de σ(0) = 0 a été supposé, ce qui est critique dans leur approche. Le principal effort de ce document est de supprimer cette condition. L’idée est de travailler sur un espace pondéré Z λ,T pour un certain poids de décroissance de puissance λ(x) = cH(1+|x|). Lorsque σ(u) = 1 nous obtenons les asympotiques exacts de la solution uadd(t, x) as t et x vont l’infini. En particulier, nous trouvons la croissance exacte de sup|x|≤L |uadd(t, x)| et la croissance exacte des coefficients de Hölder, c’est-àdire, sup|x|≤L |uadd(t,x+h)−uadd(t,x)| |h|β et sup|x|≤L |uadd(t+τ,x)−uadd(t,x)| τα .
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