Investigating the Numerical solution of the BoltzmannTransport Equation in silicon in Momentum Space Using Computational Systems of Different Dimensions

The Boltzmann transport equation is the basic equation for solving the transport of charge carrier (electrons, holes) problems in semiconductor devices. The distribution function has been obtained from the solution of this equation. The distribution function is important in calculating semiconductor properties, which can be used to calculate the average electron energy, the charge carrier concentration, and other properties. In this work the semi-classical Boltzmann transport equation in silicon was solved using analytical / numerical methods in steady state case in momentum space. The analytical solution is requires expressing the distribution function using Legendre polynomials expansion the first two terms of the expansion, by taking into account the effect of both acoustic elastic scattering and nonelastic scattering in addition to the effect of nonparabolic energy band structure. In order to obtain the numerical solution of Boltzmann transport equation the finite difference method is used. The differential equation is transformed to linear difference equation which can represented by matrices. Numerical systems with different dimensions are designed to calculate the distribution function with the least possible time to maintain the accuracy of the solution for different applied electric field which represent the low and high field regions at temperatures T= (77, 300) K. The obtained results showed good agreement with published data that used other calculation methods such as the Monte Carlo simulation method for all the system used in this work. Keyword: Boltzmann equation in Silicon, numerical solution for Boltzmann transport equation, Legendre polynomial expansion method نوكيلسلا يف لاقتنلال نامزتلوب ةلداعمل يددعلا لحلا ءاصقتسا يف تاموظنم مادختساب مخزلا ءاضف ةيباسح .ةفلتخم داعبأب 109 نوكيلسلا يف لاقتنلال نامزتلوب ةلداعمل يددعلا لحلا ءاصقتسا يف تاموظنم مادختساب مخزلا ءاضف ةيباسح .ةفلتخم داعبأب دومحم دجام دومحم نيسح حلاص دمحم زاتمم ءايزيفلا مسق ةفرصلا مولعلل ةيبرتلا ةيلك − لصوملا ةعماج momtaz_hussien@uomosul.edu.iq mahmood.majed.mahmood@gmail.com ملاتسلاا لوبقلا 24 / 03 / 2020 22 / 07 / 2020 DOI: 10.33899/edusj.2020.126828.1057 صخلملا لئاسم لحل ةمدختسملا ةيساسلاا ةلداعملا نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم دعت نورتكللاا( ةنحشلا لماح لاقتنا ، )ةوجفلا يف طئابن أ ةلداعملا هذه لح للاخ نم عيزوتلا ةلاد ىلع لوصحلا نكميو تلاصوملا هابش ، باسح يف ةمهم عيزوتلا ةلاد دعت اهمدختسا نكمي يتلا ،تلاصوملا هابشأ صئاصخ طسوتم باسح يف ةقاط نورتكللإا لا نم اهريغو ةنحشلا لماح زيكرتو خ صاو . ةيليلحت ةقيرط مادختساب نوكيلسلا يف نامزتلوبل ةيكيسلاكلا هبش لاقتنلاا ةلداعم لح مت ثحبلا اذه يف / ةلاح يف ةيددع را رقتسلاا مخزلا ءاضف يف . عيزوتلا ةلاد نع ريبعتلا يليلحتلا لحلا بلطتي لا دودح تاددعتم مادختساب ب كلذو ردنج أ لولاا نيدحلا ذخ ا نم لك ريثأت رابتعلاا رظنب ذخلاا عم ردنجلا تاددعتم تادادتما نم يناثلاو لا ةنرملا ريغ ةراطتسلاا و ةنرملا ةيعمسلا ةراطتس إ ةفاض ىلا قورفلا ةقيرط مدختسن نامزتلوب ةلداعمل يددعلا لحلا ىلع لوصحللو .ئفاكملا ريغ ةقاطلا ةمزح بيكرت ريثأت ةددحملا ذا تافوفصملاب اهليثمت نكمي يتلا ةيطخلا قورفلا ةلداعم ىلإ ةيلضافتلا ةلداعملا ليوحت متي تاموظنم ةدع ميمصت مت . لكل عيزوتلا ةلاد باسحل ةفلتخم داعبأب ةيددع ةيئابرهك تلااجملو ةقدلا ثيح نم تاموظنملا هذه نيب ةنراقملا تمتو ،ةموظنم ةفلتخم ةطلسم ةيلاعلا تلااجملا ةقطنم ىلا ةئطاولا تلااجملا ةقطنم نم دتمت ةرا رحلا يتجرد دنعو T = (77, 300) K ، قفاوت اهيلع لوصحلا مت يتلا جئاتنلا ترهظأو ا ديج دختسا يتلا ةروشنملا جئاتنلا عم يتنوم ةاكاحم ةقيرط لثم ىرخا قرط تم .ثحبلا يف ةمدختسملا تاموظنملا مظعملو ولراك نامزتلوب ةلداعم : ةلادلا تاملكلا نوكيلسلا يف ،نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعمل يددعلا لحلا ، لا دودح تاددعتم ةقيرط ردنج . نوكيلسلا يف لاقتنلال نامزتلوب ةلداعمل يددعلا لحلا ءاصقتسا يف تاموظنم مادختساب مخزلا ءاضف ةيباسح .ةفلتخم داعبأب 110 ةمدقملا رهظت ةسا رد ةيمها عيزوتلا ةلاد ميمصت يف اهتاقيبطتو تلاصوملا هابشا طئابن ،لاجملا ريثأت روتسزنا رت لثم ةينورتكللاا ا ذ مدقت ةيلامتحا عيزوتلا ةلاد انل مخزلا ءاضف يف نيعم ةجوم هجتم نمض )تاوجفلاو تانورتكللاا(ةنحشلا لماح داجيا ا لأ نورتكل ي [ 1 .] نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم لح قئا رط تعونت ةيليلحت قئا رط ىلا ذا ايسا اعيزوت عيزوتلا ةلادل نا ضا رتفا مت عيزوت وا ا يليوسكام ا [ 3 , 2 ] . ذا ةيليلحتلا ةقيرطلا تاذ ىدم نمض ةددحم ةيئايزيف جذامن ىلع ةرصتقم نوكت اهنا لاا ةديج جئاتن دودحم ةقاطلل [ 1 .] كلذكو لا اهمادختسا نكمي تلاصوملا هابشا ضعبل لثم ديانسرا مويلاكلا GaAs لاو اهمادختسا حصي تلاصوملا هابشا عيمجل ةيلاعلا تلااجملا دنع [ 4 ] هجوتلا مت . كلذل ةجيتن باسحو نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم لحل ةيددع قئا رط مادختسلا نيثحابلا لبق نم ولراك يتنوم ةاكاحم ةقيرط لثم عيزوتلا ةلاد يتلا دمتعت ىلع عيزوتلا ةلاد باسحل قرغتسملا تقولا [ 5,6,7 ] . ةقيرط ميدقت مت ةيليلحت ةيددع تقولا ليلقت لجا نمو نمضتي يليلحتلا بناجلا طلا هذه يف ةقير ةلادك عيزوتلا ةلاد ليثمت لا ءزج مضت يتلا ردنج رظانتم ا رخأو ريغ رظانتم دعب ةفوفصم ىلا ةيضايرلا تلاداعملا ليوحتل قورفلا تلاداعم مادختسا متيف يددعلا بناجلا اما ضيوعتلا نع ةقاطلا نم ددحم ىدمو ةفلتخم ميق [ 8 ] . نيناوقلا عم بسانتي ديدج جذومن عضو بلطت ةيونانلا داعبلاا ىلا اهمجح ريغصتو ةينورتكللاا طئابنلا عينصت قئا رط روطت عم ئايزيفلا دورش ةلداعمو مكلا كيناكيم ىلع دمتعي يذلا عسوملا كمنيادورديهلا جذومن وه جذامنلا هذه نم ،ونانلا ملاع يف ةي ي ركن [ 9 .] عيزوتلا ةلاد باسح يف جذومنلا اذه مدختسا نورتكللإل لاقتنلاا تاملعم باسحو ةنحشلا لماحل نم ةيونان كلاسا يف نوكيلسلا [ 10 ] . ميمصت مت ثحبلا اذه يف ا نوكيلسلا يف نورتكللإل عيزوتلا ةلاد باسحل يبوساح جمانرب متع لاقتنلاا ةلداعم لح ىلع ادا .ةيكيسلاكلا هبش نامزتلوبل ذا ةيليلحت ةقيرط مادختساب ةيكيسلاكلا هبش نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم لح انعطتسا – باسحو ةيددع ةرا رح يتجردل نوكيلسلا يف نورتكللال عيزوتلا ةلاد K ( 77 300 ةيعمسلا ةراطتسلاا نم لك ريثات رابتعلاا رظنب ذخلاا عم ) كلذكو ةيرصبلاو ةيعمسلا اهيعونب ةنرملا ريغ ةراطتسلااو ةنرملا ريثأت ةمزح بيكرت ةقاطلا ريغ عطقلا تاذ ةقاط ىدملو ئفاكملا eV ( 0-2 ،) و باسح يف قرغتسملا نمزلا ليلقتو ةفوفصملا داعباب مكحتلا نم اضيا انكمت عيزوتلا ةلاد . يرظنلا ءزجلا : ةيكيسلاكلا هبش نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم دعت ةيلضافت ةلداعم ةيكيسلاكلا هبش نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم – قبطت ةيلماكت اهيلع كيناكيم نيناوقو نتوين نيناوق مكلا ] 4 [ . ذا غايص ةداعا نكمي ةلداعملا هذه ة , رابتعلاا رظنب ذخلاا عم ا ريثأت لا ةنرملا ريغ ةراطتسلإا و ةنرملا ةيعمسلا ةراطتس ةمزح بيكرتو يئابرهكلا لاجملا ريثأت كلذكو ةقاطلا ريغ عطقلا تاذ لا ئفاكم , يف نورتكللإل عيزوتلا ةلاد باسح لجا نم نوكيلسلا ةلداعم ةباتك نكمي . لاقتنلاا ةيسايقلا نا زتلاا ةلاح دنع ةغيصلاب مخزلا ءاضف يف ةيتلاا ] 4 [ : ∂f ∂t + v. ∇rf + F. ∇pf = ∂f ∂t |coll + s(r, p, t) (1) نوكيلسلا يف لاقتنلال نامزتلوب ةلداعمل يددعلا لحلا ءاصقتسا يف تاموظنم مادختساب مخزلا ءاضف ةيباسح .ةفلتخم داعبأب 111 لثمت ثيح ∇pf و ∇rf عيزوتلا ةلاد رادحنا يقيقحلا ءاضفلاو محزلا ءاضف يف ةلادلا لثمتو s(r, p, t) صاخلا ءزجلا داحتلاا ةداعاو ديلوتلا تايلمعب لثميو دحلا ∂f ∂t |coll ةفلتخملا تا راطتسلااب صاخلا ءزجلا . اما دحلا ∂f ∂t هناف ريغت رادقم لثمي نمزلا عم عيزوتلا ةلاد ، ىمسيو دحلا ( (v. ∇rf راشتنلاا دحب و أشني عم ةنحشلا تلاماح زيكرت يف فلاتخا كانه نوكي امدنع و يرا رح رادحنا كانه وا عقوملا لثمي (ريخلاا دحلا F. ∇pf ةوقلا دح ) طلسملا ةيجراخلا تلااجملا فصي يذلا ة [11] . نكميو ةغايص ةداعا ( ةلداعملا 1 يف ) ةلاح داحتلاا ةداعاو ديلوتلا تايلمع دوجو مدع دنعو را رقتسلاا :يتلاا لكشلاب − e?⃗? ħ . ∇⃗ ?⃗? f(k) = ( ∂f ∂t ) ac + ( ∂f ∂t ) iv (2) ذا نا ?⃗? [يرولبلا هاجتلااب هذخا مت يذلا تباثلا يئابرهكلا لاجملا لثمي 111 لحلا طيسبتل ] ذا تاهاجتا نم هاجتلاا اذه لثمي يلاعلا رظانتلا ، ?⃗? نورتكللاا ةجوم هجتم ، f(k) نورتكللإل عيزوتلا ةلاد ةجوملا هجتم ةللادب ، ( ∂t ) ac ةيعمسلا ةراطتسلإا دح ،ةنرملا ( ∂t ) iv ريغ ةراطتسلإا دح ةنرملا )ةفلتخملا ةقاطلا تاضفخنم نيب ةراطتسلاا يأ( . لاقتنلاا ةلداعم لح نامزتلوبل ةيكيسلاكلا هبش : نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم لح نكمي ةسناجتملا ب بيرقت ةقيرط لثم ةيليلحت اهنم قئا رط ةدع ةيددع ىرخاو ءاخرتسلاا نمز ولراك يتنوم ةقيرط لثم . لحلا ةبوعصلو مدختسا ت قئا رط ىرخا نم ةجتان ةيددعلا ةقيرطلا عم ةيليلحتلا ةقيرطلا عمج . مت يف ةيليلحت ةقيرط مادختسا ثحبلا اذه ل ةلادب عيزوتلا ةلاد ليثمت ددعتم دودح ة لا تلاداعمب ةلثمتم ةيددع ةقيرطو ردنج قورفلا [8,12] . :نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعمل يليلحتلا لحلا طيسبتل مادختساب نامزتلوبل لاقتنلاا ةلداعم لح دودح ةددعتم لا ردنج لحلل ةلباق اهلعجو بجي يتلا تابيرقتلا نم ةعومجم كانه اهب مايقلا . طس ليوحت وه لولاا بيرقتلا و ةقاطلا ح تباثلا ة يوضيبلا ة طس ىلا نوكيلسلل و يورك ح ة كنريه بيرقت مادختساب تجوف و ليوحتلا اذه قيبطتب ي حبص نكمملا نم يف لمعلا لا ءاضف نورتكللاا ةجوم هجتمل يمجنلا ءاضفلا( مخزلا هجتمل يمجنلا  k space [5] . ةلداعملاب يقيقحلا ءاضفلاو يمجنلا ءاضفلا يف ةجوملا هجتم نيب ةقلاعلا ىطعت :ةيتلاا ?⃗? ∗ = ?̂? 2 ⁄ ?⃗? (3) لثمي ذا ?̂? 2 ⁄ ةفوفصم ل ايندلا ةميقلا عقت امدنع ليوحتلا دنع ةقاطلا ضفخنم k=0 :يواستو .