L'épaisseur des graphes complets K34 et K40

Un graphe est défini comme l'union de plusieurs autres si 1°) l'ensemble de ses sommets est l'union des ensembles des sommets des graphes composants, 2°) l'ensemble de ses arêtes est l'union des ensembles des arêtes des graphes composants. On définit alors l'épaisseur d'un graphe G comme le nombre minimum des graphes planaires dont l'union est isomorphe à G.

Le problème de l'épaisseur des graphes complets a été résolu par F. Harary et L. W. Beineke pour tous les graphes K_n (n nombre de sommets) où n≠6m+4. L'épaisseur est connue en outre pour n=4, 10, 28. Elle a été récemment déterminée par A. Hobbs pour n=22.

L'objet du présent article est de déterminer l'épaisseur des graphes K₃₄ et K₄₀; celle-ci est égale à la limite inférieure déduite par F. Harary et L. W. Beineke de la formule d'Euler. On peut conjecturer très vraisemblablement que cette valeur limite est aussi vérifiée par les graphes K_6m+4 (m≥7)^*.