RACINES CARRÉES D'OPÉRATEURS ELLIPTIQUES ET ESPACES DE HARDY

Il est bien connu que, pour tout 1 0 tel que pour toute fonction . Lorsque p = 1, (0.1) est fausse pour L1(ℝn) mais devient ou H1(ℝn) est l'espace de Hardy reel classique. Dans cette vue d'ensemble, nous rassemblons des resultats qui etendent (0.1) et (0.2) dans deux directions. D'une part, nous nous placons dans un ouvert fortement lipschitzien de ℝn, ou dans un cadre geometrique non euclidien (variete riemannienne complete ou graphe). D'autre part, nous remplacons Δ par un operateur elliptique d'ordre 2 plus general (operateur sous forme divergence dans un ouvert de ℝn, laplacien de Hodge dans une variete riemannienne, laplacien discret sur un graphe). Dans le cas des domaines fortement lipschitziens de ℝn, ces questions conduisent a introduire des espaces de Hardy–Sobolev et a en donner des proprietes analogues a celles des espaces de Sobolev usuels. Dans le cas des varietes riemanniennes, nous introduisons des espaces de Hardy de formes differentielles exactes. Ces espaces sont adaptes au laplacien de Hodge et possedent des proprietes analogues a l'espace de Hardy H1(ℝn). Le laplacien de Hodge possede un calcul fonctionnel holomorphe sur ces espaces, et en particulier la transformee de Riesz est continue. Sous des hypotheses geometriques convenables, nous comparons ces espaces de Hardy aux espaces de Hardy usuels (dans le cas d'espaces de fonctions) ou aux espaces Lp. Enfin, sur un graphe verifiant certaines proprietes geometriques, nous obtenons des versions discretes de la plupart des resultats correspondants pour les transformees de Riesz et inegalites reliees obtenues dans des varietes riemanniennes. Nous donnons egalement des resultats concernant les puissances fractionnaires d'operateurs elliptiques d'ordre 2. Il s'agit de proprietes d'algebre pour des espaces de Bessel fractionnaires sur des groupes de Lie unimodulaires, generalisant les resultats euclidiens. Nous utilisons egalement des estimations de la norme L2 de puissances fractionnaires de certains operateurs pour montrer une inegalite de Poincare fractionnaire pour certaines mesures de probabilite dans ℝn ou des groupes de Lie a croissance polynomiale.