{"title":"算子方程组的鞍点型解","authors":"Piotr Kowalski","doi":"10.14232/ejqtde.2021.1.75","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"<jats:p>Let <mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant=\"double-struck\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> n>1 and let <mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math>. We consider the system of nonlinear Dirichlet problems <mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:mspace linebreak=\"newline\" /><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow> <mml:mfenced open=\"{\" close=\" \"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mtable columnalign=\"left\"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace linebreak=\"newline\" /><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> where <mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>:</mml:mi><mml:mstyle mathvariant=\"double-struck\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle mathvariant=\"double-struck\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mo>→</mml:mo><mml:mstyle mathvariant=\"double-struck\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math> is <mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> and is partially convex-concave and <mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>:</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"> <mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>:</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> are monotone and potential operators. The solvability of this system is reached via the Ky–Fan minimax theorem.</jats:p>","PeriodicalId":50537,"journal":{"name":"Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations","volume":"1 1","pages":""},"PeriodicalIF":0.8000,"publicationDate":"2021-01-01","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"0","resultStr":"{\"title\":\"A saddle point type solution for a system of operator equations\",\"authors\":\"Piotr Kowalski\",\"doi\":\"10.14232/ejqtde.2021.1.75\",\"DOIUrl\":null,\"url\":null,\"abstract\":\"<jats:p>Let <mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant=\\\"double-struck\\\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> n>1 and let <mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math>. We consider the system of nonlinear Dirichlet problems <mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:mspace linebreak=\\\"newline\\\" /><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow> <mml:mfenced open=\\\"{\\\" close=\\\" \\\"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mtable columnalign=\\\"left\\\"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mi>,</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace linebreak=\\\"newline\\\" /><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> where <mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>:</mml:mi><mml:mstyle mathvariant=\\\"double-struck\\\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mo>×</mml:mo><mml:mstyle mathvariant=\\\"double-struck\\\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mo>→</mml:mo><mml:mstyle mathvariant=\\\"double-struck\\\"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math> is <mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> and is partially convex-concave and <mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>:</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\" display=\\\"block\\\"> <mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>:</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>,</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>*</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> are monotone and potential operators. The solvability of this system is reached via the Ky–Fan minimax theorem.</jats:p>\",\"PeriodicalId\":50537,\"journal\":{\"name\":\"Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations\",\"volume\":\"1 1\",\"pages\":\"\"},\"PeriodicalIF\":0.8000,\"publicationDate\":\"2021-01-01\",\"publicationTypes\":\"Journal Article\",\"fieldsOfStudy\":null,\"isOpenAccess\":false,\"openAccessPdf\":\"\",\"citationCount\":\"0\",\"resultStr\":null,\"platform\":\"Semanticscholar\",\"paperid\":null,\"PeriodicalName\":\"Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations\",\"FirstCategoryId\":\"100\",\"ListUrlMain\":\"https://doi.org/10.14232/ejqtde.2021.1.75\",\"RegionNum\":4,\"RegionCategory\":\"数学\",\"ArticlePicture\":[],\"TitleCN\":null,\"AbstractTextCN\":null,\"PMCID\":null,\"EPubDate\":\"\",\"PubModel\":\"\",\"JCR\":\"Q1\",\"JCRName\":\"MATHEMATICS\",\"Score\":null,\"Total\":0}","platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations","FirstCategoryId":"100","ListUrlMain":"https://doi.org/10.14232/ejqtde.2021.1.75","RegionNum":4,"RegionCategory":"数学","ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"Q1","JCRName":"MATHEMATICS","Score":null,"Total":0}
引用次数: 0
摘要
设Ω∧Rn >1，设p,q≥2。我们考虑系统的非线性方程狄利克雷问题*撑(Au) (x) =ν”(x, u (x), v (x)), x∈Ω,r - (Bv) (x) = Nv”(x, u (x), v (x)), x∈Ω,俄文(x) = 0, x∈∂Ω,房车(x) = 0, x∈∂Ω,endequation * N: r×r→r是C1和部分凸凹形:W01, p(Ω)→(W01, p(Ω))* B: W01 p(Ω)→(W01, p(Ω))*是单调和潜在的运营商。通过key - fan极大极小定理得到了该系统的可解性。
A saddle point type solution for a system of operator equations
Let Ω⊂Rn n>1 and let p,q≥2. We consider the system of nonlinear Dirichlet problems equation*brace(Au)(x)=Nu′(x,u(x),v(x)),x∈Ω,r-(Bv)(x)=Nv′(x,u(x),v(x)),x∈Ω,ru(x)=0,x∈∂Ω,rv(x)=0,x∈∂Ω,endequation* where N:R×R→R is C1 and is partially convex-concave and A:W01,p(Ω)→(W01,p(Ω))*B:W01,p(Ω)→(W01,p(Ω))* are monotone and potential operators. The solvability of this system is reached via the Ky–Fan minimax theorem.
期刊介绍：
The Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations (EJQTDE) is a completely open access journal dedicated to bringing you high quality papers on the qualitative theory of differential equations. Papers appearing in EJQTDE are available in PDF format that can be previewed, or downloaded to your computer. The EJQTDE is covered by the Mathematical Reviews, Zentralblatt and Scopus. It is also selected for coverage in Thomson Reuters products and custom information services, which means that its content is indexed in Science Citation Index, Current Contents and Journal Citation Reports. Our journal has an impact factor of 1.827, and the International Standard Serial Number HU ISSN 1417-3875.
All topics related to the qualitative theory (stability, periodicity, boundedness, etc.) of differential equations (ODE''s, PDE''s, integral equations, functional differential equations, etc.) and their applications will be considered for publication. Research articles are refereed under the same standards as those used by any journal covered by the Mathematical Reviews or the Zentralblatt (blind peer review). Long papers and proceedings of conferences are accepted as monographs at the discretion of the editors.
求助内容：
应助结果提醒方式：
京公网安备 11010802042870号
