Interprétation cristalline de l’isomorphisme de Deligne–Illusie

Abstract : let k be a finite field of characteristic p>0, W(k) the ring of Witt vectors of k, X a smooth scheme over \spec W(k) and X_0 the special fiber of X. In 1987, Deligne and Illusie proved the degeneration of the spectral sequence ``de Hodge vers de Rham'' in a purely algebraic way, by constructing a quasi-isomorphism at the level of derived categories between the de Rham complex of X_0 with a complex with 0 differentials. Simultaneously Fontaine and Messing constructed a divided Frobenius map on the crystalline complexes associated with X_0. We show that both morphisms of derived categories are compatible mod p>0 if the dimension of X_0 is 0, W(k) l'anneau des vecteurs de Witt de k, X un schema lisse sur spec W(k), X_0 la fibre speciale de X. En 1987, Deligne et Illusie ont demontre la degenerescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham d'une facon purement algebrique, en construisant un quasi-isomorphisme dans la categorie derivee entre le complexe de de Rham de X_0 et un complexe a differentielles nulles. Concomitamment, Fontaine et Messing ont construit un Frobenius divise sur les complexes cristallins associes a X_0. Nous montrons que ces deux morphismes de categories derivees sont compatibles. Comme application de cette compatibilite, nous donnons la structure du phi-module filtre mod p associe a la courbe de Drinfeld.