El problema de la Braquistócrona en el cilindro S1 × R con varias vueltas

Presentamos brevemente el problema del braquistócrona en un plano vertical. A seguir presentamos la formulación paramétrica del problema de la braquistócrona sobre la superficie de un cilindro vertical de radio R y encontramos la curva que resuelve este problema. Enseguida formulamos el problema del tautócrona en el cilindro y demostramos que la curva tipo braquistócrona encontrada anteriormente tiene conportamiento tautócrono, esto es, dos partículas sueltas del reposo de puntos distintos de la curva braquistócrona, llegan al punto más bajo de la trajectoria en forma simultánea.Se verifica también que la curva tipo braquistócrona en un plano vertical (cicloide invertida) es límite de la curva tipo braquistócrona encontrada en la superficie cilíndrica cuando el radio delcilindro tiende al infinito. Posteriormente analizamos el problema del braquistócrona entre dos pontos fijos A y B sobre la superficie cilíndrica con la condición adicional de que la partícula antes de llegar al punto final B deve dar um cierto número de vueltas previamente definido. Encontramos la curva que resuelve este problema y adicionalmente encontramos uma relación matemática que determina cuantos vueltas como máximo puede haber si fijamos los valores de las coordenadas del punto inicial (A), final (B), el radio del cilindro y g (la aceleración de la gravedad).