Logiques non classiques

La logique intuitioniste (Heyting 1930) s'attache davantage à la connaissance que l'on peut avoir de la vérité des énoncés, elle est en cela plus proche de la programmation informatique, dans la mesure où elle ne prend en compte que la constructibilité de preuves. Elle est née du rejet du principe du tiers-exclu et du raisonnement par l'absurde. Pour l'intuitionnisme, une preuve est un moyen effectif, par exemple une preuve de A → B est un algorithme de passage de toute preuve de A à une preuve de B (aspect constructiviste). A chaque dérivation intuitionniste, on peut associer un algorithme qui est un programme lié au λ-calcul (voir l'arithmétique fonctionnelle de J.L.Krivine). Une axiomatique de l'intuitionnisme est réalisée par le système de Hilbert de l'annexe 1 dans lequel l'axiome ¬¬A → A est remplacé par ¬A → (A → B). Sans l'axiome ¬¬A → A, le raisonnement par l'absurde consistant en P ∧ ¬Q → 0 c'est à dire ¬P ∨ ¬¬Q n'est pas équivalent à ¬P ∨ Q qui est P → Q. On prouve alors la formule ¬(A ∧ ¬A) indiquant qu'il n'y a pas contradiction, mais pas le tiers-exclu A ∨ ¬A comme en logique classique. On montre cependant que le calcul propositionnel intuitionniste est décidable. Par ailleurs il existe des sémantiques de Kripke ou topologique de Heyting assurant le théorème de complétude.