The Optimal Competition Resolution Rule for a Controlled Binary Chain

Исследуется динамическая система типа бинарной цепочки Буслаева. Система содержит $N$ контуров. На каждом контуре имеются две ячейки и одна частица. Для каждого контура имеется по одной общей точке, называмой узлом, с каждым из двух соседних контуров. В детерминированном варианте системы в любой дискретный момент времени каждая частица перемещается в другую ячейку, если нет задержки. Задержки обусловлены тем, что две частицы не могут проходить через узел одновременно. Если две частицы стремятся пересечь один и тот же узел, то перемещается только одна частица в соответствии с заданным правилом разрешения конкуренции. В стохастическом варианте частица стремится переместиться, если система находится в состоянии, соответствующем состоянию детерминированной системы, в котором частица перемещается. Эта попытка реализуется в соответствующей системе с вероятностью $1-\varepsilon,$ где $\varepsilon$~--- малая величина. Получено правило разрешения конкуренции, называемое правилом длинного кластера. Это правило переводит систему в такое состояние, что все частицы перемещаются без задержек в настоящий момент и в будущем (состояние свободного движения), причем система попадает в состояние движения за минимальное возможное время. Среднее число $v_i$ перемещений частицы $i$-го контура в единицу времени называется средней скоростью этой частицы, $i=1,\dots,N.$ В предположении, что $N=3,$ для стохастического варианта системы получены следующие результаты. Для правила длинного кластера получена следующая формула для средней скорости частиц: $v_1=v_2=v_3=1-2\varepsilon+o(\varepsilon)$ $(\varepsilon\to 0).$ Для левоприоритетного правила, в соответствии с которым при конкуренции приоритет имеет частица контура с меньшим номером, для средней скорости частиц получена следующая формула: $v_1=v_2=v_3=\frac{6}{7}+o(\sqrt{\varepsilon}).$