Natural Convection Heat Transfer in a Square Porous Enclosure with Corner Heating and Magnetic Field

This numerical study documents the phenomena of heat transfer natural convection in a square porous cavity with corner heating and magnetic field. The finite difference technique with Gauss-Siedel method is used to solve the governing equations with aid of (Over Relaxation) technique of a range (1.1-1.3). The governing parameters are modified Rayleigh number, Hartmann's number, inclination angle of magnetic field and dimensionless length (nondimensional heating region in both directions (x,y)) . It was concluded that increase in the Hartman number leads to a decrease in the average Nusselt number while the increase in the modified Rayleigh number increases the average Nusselt number .The increase of dimensionless length (h) led to an increase the average Nusselt number . However, the optimum reducing of the heat transfer rate was obtained at a large magnetic field in the horizontal direction. Keyword: Natural Convection, Square Porous, Corner Heating, Magnetic Field. :ملتسأ 19 – 12 2012 :لبق 22 – 12 2013 Al-Rafidain Engineering Vol.22 No. 5 Dec. 2014 61 زومرلا ةمئاق زمرلا فیرعتل ةدحولا 0 B يسیطانغملا ثحلا Volt.s/m2 P C عئاملل ةیعونلا ةرارحلا K kg J . Da يسراد ددع 2 L K Da  ---H نیخستلا ةقطنم لوط نیھاجتلااب ھیدعبلالا X و Y ----Ha نامتراھ ددع = يسراد 1 2 2 0 0 σ B K μ       ----I يئابرھكلا رایتلا A K يماسلا طسولا ةیذافن m2 K ةیرارحلا ةیلصوملا W/m.K L زیحلا لوط m u N تلسن ددع لدعم ---Nu يعضوملا تلسن ددع ----P طغضلا N/m2 Q . يعیبطلا لمحلاب ةلقتنملا ةرارحلا ةیمك W Q . ةیمك لیصوتلاب ةلقتنملا ةرارحلا W Ra عئاملل يلار ددع 3 ρ gβL ΔT Ra = μ m   ---Ra* روطملا يلار ددع K ρ gβL ΔT Ra = μ m    ---T ةرارحلا ةجرد K u ةعرسلل ةیقفلأا ةبكرملا m/s  ةیدومعلا ةبكرملا ةعرسلل m/s ةیدومعلاو ةیقفلأا عئاملا ةعرس يتبكرم ةلصحم m/s y x, ةیتراكیدلا تایثادحلإا m ةیقیرغلإا زومرلا زمرلا فیرعتلا ةدحولا زمرلا فیرعتلا ةدحولا m ةیرارحلا ةیراشتنلاا m2/s  ةیتامنیاكلا ةجوزللا m2/s  لماعم يرارحلا ددمتلا K 1  ةفاثكلا 3 m kg  ةیماسملا --0  ةیئابرھكلا ةیلصوملا 1/ohm.m  ةیدعبلالا ةرارحلا ةجرد -- ةیدعبلالا بایسنلاا ةلاد -- ةیكیمانیدلا ةجوزللا s m kg .  بایسنلاا ةلاد s m ةیلفسلاو ةیولعلا زومرلا زمرلا فیرعتلا زمرلا فیرعتلا * __ ^ روطم لدعملا يدعبلالا C ⇀ درابلا رادجلا نخاسلا رادجلا ھجتم ةیمك :نیسح يسیطانغم لاجمو يواز نیخست عم عبرم يماسم زیح يف ةرارحلا لاقتنلا يعیبطلا لمحلا 62 1 . ةمدقملا .مسجلا نم أطوأ وأ ىلعأ ةرارح ةجرد دنع عئام يف مسج عضو ام اذإ يعیبطلا لمحلاب ةرارحلا لاقتنا ثدحی حطسلل رواجملا عئاملا ةفاثك يف اریغت ببستو مسجلاو عئاملا نیب ةرارحلا باسنتس ،ةرارحلا تاجرد يف قرفلل ةجیتنكو ً [1] . إ ن قیبطتلا تلااجم وم عئامب عبشملا يماسملا طسولل ریثأت تحت ةیسیطانغمورھك صاوخ يذ لص يعیبطلا لمحلا يسیطانغموردیھلا ) MHD وھ ( ةیرارحلا تلادابملا میمصت يف و نایرجلا سایقمو تاخضملا و ءاضفلا تابكرم عفد يف و و ةیرارحلا ةیامحلا . ةقاطلا دیلوت تاموظنم ثادحتسا يف ) نوثحابلا زجنأ Kaluri et. al. ] ( 2 [ ىلع ةیددع ةسارد يرجأ عبشم عبرم يماسم زیح يف نزاوتملا يقبطلا يعیبطلا لمحلاب نایرجلا للاخ يرارحلا طلخلاو ةرارحلا عیزوت . ةیرارحلا ناجیب طوطخ ىلع دامتعلااب نأ . يلاعلا يسراد ددع دنع ثدحی يرارحلا طلخلا زیزعت نأب حضوت ةساردلا يرارحلا طلخلاو ةرارحلا راشتنا ززعی يرارحلا عیزوتلا . ةسناجتملا نیخستلا ةلاحب ةنراقم ) نوثحابلا ماق Grosan et al. ] ( 3 عبشم يماسم طسوب ءولمم لیطتسم فیوجت يف يعیبطلا لمحلا ىلع يسیطانغموردیھلا كیمانیدل ةیددع ةساردب [ ةیوازب لئاملاو يجراخلا سناجتملا يسیطانغملا لاجملا ، يلخاد ةرارح دیلوتو  . يقفلأا ىوتسملا عم قل ددع نأ دجو د يعضوملا تلسن لقی میق دادزت امدنع يلفسلا رادجلا ىلع  ) نوثحابلا ماقو . Mansour et al. ]( 4 ریثأتل ةیددع ةساردب [ یھلا لاجملا د ةرارح دوجوو عبشم عئامب ءولمم لئام يماسم عبرم زیح يف يعیبطلا لمحلا ىلع رقتسملا ریغ يسیطانغمور يسیطانغم لاجم ریثأت تحتو ةدلوتم يلار ددع ، نامتراھ ددع ریثأت ةساردلا تنیبو زیحلا عم ةیوازلا سفنب لئامو سناجتم طوطخو بایسنلاا طوطخ لثم ةرارحلا لاقتناو نایرجلا صئاصخ ىلع يدعبلالا نمزلا لماعو زیحلل نلایملا ةیوازو .تلسن ددع طسوتمو ةرارحلا تاجرد ) ھقافرو ثحابلا ماق Saleh et al. ] ( 5 ةساردب [ ىلع يسیطانغملا لاجملا ریثأت فوس ةلقتنملا ةرارحلا لدعمل لثملأا ناصقنلا. عبشم عئامب ءولمم يماسم فرحنم ةبش زیح يف رقتسملا يرارحلا لمحلا ) ثحابلا سرد اریخأو.يقفلأا هاجتلاا يف ریبك يسیطانغم لاجمو داحلا فرحنملا ةبش زیحلل ةیلع لصحن ً Ismael ] ( 6 [ اجملا ریثأت ایددع ً ةرارح دوجوو عبشم يماسم طسوب ءولمم عبرم زیح يف يعیبطلا لمحلا ىلع رقتسملا ریغ يسیطانغملا ل يسیطانغملا لاجملا عم زیحلا میسقت نا.. ىوھم يلخاد زیح ثادحلإ نیزجاح ةطساوب زیحلا م سق دقو ةسناجتم ةدلوتم ّ لاقتناو نایرجلل دامخإ ریثأت امھل يدومعلا ةرارحلا . 2 . لـیثمتلا يـئایزیفلا تمت نیدعبل ةساردلا رابتعاو ةلاحلا رایت عم زیحلا يف يعیبطلا لمحلل ةرقتسم لصوم يئابرھك ىلإ يماسملا طسولا ) لكشلا يف حضوم امك عئامب عبشملا 1 .( ) لكشلا 1 ةلأسمل يسدنھلا جذومنلا : ( ثحبلا 3 . تایضرفلا تایضرفلا نم ةعومجم دامتعا مت ةساردلا هذھ يف : يلی امكو ةیددعلا ةساردلا لیھست لجا نم 1 .نمزلا ىلإ ةبسن ةرارحلا لاقتناو عئاملا نایرجل ریغت دجوی لا يأ ،رقتسم نایرجلا 2 لا يماسملا طسولا لخاد باسنملا عئاملا يماسملا طسولا ةیذافنو ایئابرھك لصومو روطلا يداحأو يطاغضنا ً K .تاھاجتلاا عیمج يف ةیواستم 3 يئانث نایرجلا .عئاملاو ةبلصلا ةداملا نیب ایرارح نزاوتم يماسملا طسولاو دعبلا 4 .ةتباث ةیماسملاو سناجتم يماسملا طسولا 5 .يرارحلا دیلوتلل دوجو لاو كاكتحلاا ةمواقم ریثأت لامھإو ةجوزللا لعفب ةدلوتملا ةرارحلا لامھإ 6 ادعام ةفاثكلا اھنمضب ةتباث يماسملا طسولل ةیئایزیفلا صاوخلا عیمج ةوق ریثأت ببسب ةرارحلا ةجرد عم اھریغت كسنسیوب بیرقت نم اھباسح متی يتلاو وفطلا = °[1 − ( − °)] ..........(1) Al-Rafidain Engineering Vol.22 No. 5 Dec. 2014 63 7 ریغ عبرملا زیحلا ناردج ةذافن . 8 لا هاجتاب رثؤت ةیسیطانغملا ةوقلا . لائام وأ يقفلأا وأ يضرلأا لیجعت ً 4 . تلاداعملا ةمكاحلا ىلع ادامتعا ً تایضرفلا هلاعأ مت ت ةقاطلاو مخزلاو ةیرارمتسلال ةمكاحلا تلاداعملا ةباتك نایرجلا جذومنل يسرادلا ةیئزج ةیلضافت ةلداعم اھنأب اھ فیرعت نكمی يماسملا طسولا يف بایسنلال ةـیرارمتسلاا ةلداعم نإ ُ ةـلداعم نم ةقتشم لا طغضلا يف رییغتلا نإ يأ يطاغضنا ریغ عئاملا نأ ضرفب كلذو ةـلتكلا ظفح عئاملل ةیبسنلا ةفاثكلا يف رییغت يأ ثدحی ام لك ىلع ءانبو ً تایثادحلإا هاجتاب ةیرارمتسلاا ةلداعم ناف مدقت (x,y) يتلآاك نوكت [1,2,7] : 0 . u v x y       ........(2) يھف مخزلا ةلداعم امأ ةیلمعلا براجتلا نم ةصلختسملاو يماسملا طسولا لغشت يتلا ىوقلا نزاوت نع ةرابع [1] ثیح ایدرط بسانتی ةیماسم ةدام نم دومع للاخ عئاملا ةعرس لدعم نأ ةلداعملا تنیب ً دومعلا لوط ىلع طغضلا يف قرفلا عم عم ذخلأا يسیطانغملا ریثأتلا رابتعلااب لئاملا . = (−∇P + ρg + I × B ) ........(3) ∇. I = 0 .........(4) I = (−∇∅ + V × B ) .........(5) ∇∅ = 0:يتلأاك نوكتو ةیعضوملا ءابرھكلا يھ ∅و نوكت ثیح .قلغملا زیحلل طیحملا يف ةلوزعم ةیئابرھكلا امئاد ً ) ةلداعملا حبصت كلذبو 3 دعب ( هاجتلال طیسبتلا x u = − ∗ P x   − B K     (vsinα ∗ cosα − usin α) ........(6) هاجتلال ةبسنلاب كلذكو y = − ∗ P y   − B K     (usinα ∗ cosα − vcos α) + (T − T ) ........(7) لو لعج لحلا ، لھسأ ) ةلداعم نم طغضلا دح فذح نكمی 6 ) و ( 7 ىلإ ةبسن ىلولأا ، امھلضافت قیرط نع ( y و ىلإ x : مخزلا ةلداعم ىلع لصحن فوسو 2 sin cos sin 2 sin cos cos KB KB u v v u y x y y KB KB u v K g T x x x                                                   ...(8) ...... سناجتملا يماسملا طسولل ةقاطلا ةلداعم نأ ) ً دح لامھإبو ةرارح ، (ةجوزللا ] يتلآاك نوكت فوس 6 : [ 2 2 . 2 2 T T T T u v m x y x y                     .........(9) فرعت ثیح تاریغتملا : يلی امك ةیدعبلالا x y ψ ˆ ˆ X = , Y = , θ= and Ψ = . L L α m T Tc T Tc h .........(10) تاملعملاو : يھ ةیدعبلالا ةمكحتملا σ K * ο H a = B , R a = ο μ g K m        .........(11) :يھ يماسملا طسولا ىلإ ةبسنلاب ةیدعبلالا ةیدحلا فورظلا نأ :نیسح يسیطانغم لاجمو يواز نیخست عم عبرم يماسم زیح يف ةرارحلا لاقتنلا يعیبطلا لمحلا 64 ˆ ˆ A t Y = 1 , 0 < X < 1 , U = V = 0 , Ψ = 0 , θ = 0 ......(12) ˆ ˆ A t Y = 0 , 0 X h , U = V = 0 , Ψ = 0 , θ = 1   .......(13) θ ˆ ˆ A t Y = 0 , h < X 1 , U = V = 0 , = 0 Ŷ    ......(14) ˆ ˆ A t X = 0 , 0 Y h , U = V = 0 , Ψ = 0 , θ = 1   ......(15) θ ˆ ˆ A t X = 0 , h < X 1 , U = V = 0 , Ψ = 0 , = 0 X̂    ......(16) θ ˆ ˆ A t X = 1 , 0 Y 1 , U = V = 0 , Ψ = 0 , = 0 X̂     ......(17) : تلسن ددع لدعم فرعیو 1 0 . ˆ Nu dx Y            5 . يددـعلا لـیلحتلا ) ةمكاحلا تلاداعملا لحل ددحملا قرفلا ةینقت تمدختسا 8 ) و ( 9 . ةیدحلا فورظلا عم ( ةناعتسلااب سواك ةقیرطب ةقدبو ةیراركتلا لدیس : لثمت ثیح  هرم T وأ ψ لثمتو ) n ( . جمانربلل تلاواحملا ددع ةنراقم متت فوس لحلا ةحص نم دكأتلل متیس يتلا جئاتنلا يف اھیلع لوصحلا عم يلاحلا ثحبلا مت ثیح. ةقباسلا ثوحبلا ت م جئاتنلا هذھ ةنراقم ع نیثحابلا ةسارد نم لك جئاتن Ismaeel) ] ( 8 ةیدحلا فورظلا سفنلو نیثحابلا نم مھریغو [ . ثیح تناك ةساردلا ةیلمع دامتعاب نم نیخست دحا جلا و سیطانغم لاجم نودبو ، نلاوزعم يلفسلاو يولعلا نیرادجلاو رخلآا بناجلا نم دیربتو بنا ترھظأ ةجیتنلابو . ي ) لودجلا يف نیبم امكو ةقباسلا تاساردلا جئاتنو يلاحلا ثحبلا جئاتن نیب ابراقت ةنراقملا ً 1 . ( )لودجلا 1 ) دنع تلسن ددع ةنراقم ( Ra*=50,100 )و ( Ha=0 ( Present Work Ismaeel [ 8 ] Dawood [ 13 ] Bejan [ 12 ] Bejan&Tien [ 9 ] Burns [ 11 ] Chan [10 ] ∗ 2.042 2.034 2.22 1.897 2.12 2.2 2.1 50 3.218 3.472 3.472 3.433 3.25 3.6 3.54 100 6 . ةشقانملاو جئاتنلا عم يسیطانغم لاجمو يواز نیخست عم عبرم زیح يف يعیبطلا لمحلاب ةرارحلا لاقتنا ققحن ةساردلا هذھ يف رییغت نم ةلأسملا ىلع ةرطیسملا لماوعلا رییغت وطملا يلار ددع ر ) * 100 500 Ra   ( نامتراھ ددع رییغت ، ) 0 10 Ha   ) يسیطانغملا لاجملا نلایم ةیواز رییغت ، ( 0 90    ) نیخستلا ةقطنم داعبإ رییغتو ( 0.25 h 0.75   ( ةشقانم نع لاضف ، ً لدعم لثمی يذلا تلسن ددع . عبرملا زیحلا يف ةرارحلا لاقتنا ) لكشلا 2 لثمی ( يسیطانغملا لاجملا عم ةرارحلا تاجردو بایسنلاا ةلاد توبث طوطخ رییغت ثیح عمجتو لمحلا تاقبط ومن ةظحلام نكمی تاجرد توبث طوطخ ) دنعف ةلوزعملا حطسلأا دنع اھراشتناو نیخستلا ةقطنم دنع ةرارحلا Ha=0 ( و لاجملا ریثأت بایغب طسولا يف يسیطانغملا يماسملا مث ةقطنم دنع ضعبلا اھضعب عم براقتتو مكارتت ةرارحلا تاجرد طوطخ نأ ظحلان ةقطنملا نع ادیعب انھجتا املك اھرادحنا ةدایزو ، نیخستلا ً هاجتاب ةنخاسلا كلذو درابلا يقفلأا يولعلا رادجلا وحن ىلعلأا لا ةوقب ىمست ام وأ وفطلا ةوق ریثأتل ةجیتن نیب عئاملل ةفاثكلا يف قرفلا ببسب ةجتان يھو میوعت طسولا ریثأت ناو يماسملا نم برقلاب ةنخاس ةقبطلا هذھ نوكت ثیح درابلا يولعلا رادجلاو ةنخاسلا ةقطنملا نم انبرتقا املك رھظی ةمخآتملا ةقبطلا ،درابلا يولعلا رادجلا دنع ةدرابو نیخستلا ةقطنم م نكمی امنیب ظحلا ة نأ طوطخ توبث ةجرد ریغ رادحنا تاذ ةرارحلا امم ایعضوم واستم ً ٍ كلذ يدؤی وفطلل