代数和算术群的“抽象”同态和自同态

J. Tits
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摘要

作者回顾了(1970年)关于经典群的同态和自同态的知识。他以一种非常一般的形式提出了这个问题:我们有两个交换场K,K ',一个在K[K ']上的群KG[K ' G ']的模式,一个在K[K ']上有理KG[K ' G ']点群的子群H[H ']。作者首先描述了一种类型的同态α:H→H ',他称之为半代数同态。我们一方面考虑场同态σ:K→K '来定义它;如果KσG是由KG通过基变σ推导出的K '上的群模式,则我们有G的规范同态σ∗某些条件,使β(h)=α(h)χ(h),或α是半代数的,χ是h在h '中心的同态。只有当KG和K ' G是半简单组的图式时,才会有合理的答案,正如作者在论文末尾给出的病理例子所示。作者列举的例子,或者上面的问题有肯定的答案,首先是o ' meara和他的学派通过o ' meara自1966年以来开发的平面旋转特征方法所研究的例子;另一方面,是A. Borel和作者作品的对象。后者适用于所有绝对几乎简单的代数群(经典的或“例外的”),只要它们是“各向同性的”;另一方面,这种情况在o ' meara方法中没有出现,但后者仅限于经典组。
本文章由计算机程序翻译,如有差异,请以英文原文为准。
Homomorphismes et automorphismes “abstraits” de groupes algébriques et arithmétiques
L'auteur fait le point (en 1970) des connaissances relatives aux homomorphismes et automorphismes des groupes classiques. Il pose le probleme sous une forme tres generale: on a deux corps commutatifs K,K′, un schema en groupes KG[K′G′] sur K[K′], un sous-groupe H[H′] du groupe des points de KG[K′G′] rationnels sur K[K′]. L'auteur decrit d'abord un type d'homomorphisme α:H→H′ qu'il appelle semi-algebrique. On le definit en considerant d'une part un homomorphisme de corps σ:K→K′; si KσG est le schema en groupes sur K′ deduit de KG par le changement de base σ, on a un homomorphisme canonique σ∗ du g certaines conditions, est tel que β(h)=α(h)χ(h), ou α est semi-algebrique et χ un homomorphisme de H dans le centre de H′. Il ne faut s'attendre a une reponse raisonnable que lorsque KG et K′G′ sont des schemas en groupes semi-simples, comme le montrent des exemples pathologiques donnes par l'auteur a la fin de son expose.Les exemples enumeres par l'auteur ou le probleme precedent a une reponse affirmative sont d'une part ceux examines par O'Meara et son ecole par la methode de caracterisation des rotations planes, developpee par O'Meara depuis 1966; d'autre part, ceux qui font l'object des travaux de A. Borel et de l'auteur. Ces derniers s'appliquent a tous les groupes algebriques absolument presque simples (classiques ou "exceptionnels'') pourvuqu'ils soient "isotropes''; par contre cette condition n'intervient pas dans la methode de O'Meara, mais cette derniere est limitee aux groupes classiques.
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