Sur l'application d'une représentation hyperspatiale de l'espace réglé à l'étude de certaines questions de géométrie différentielle

Dans des Notes antérieures (1) j'ai utilisé une certaine correspondance entre les droites de l'espace métrique enclidien E3 à trois dimensions (supposé rapporté aux axes rectangulaires Ox1x2x3 et les points d'un espace métrique euclidien à quatre dimensions (Ox1x2x3x4) dont E3 serait la section par l'hyperplan x4= 0. En elle-même cette correspondance n'est sans doute pas une grande nouveauté (il suffit par exemple de songer à une projection stéréographique d'une section hyperplane de l'hyperquadrique (FORMULE), X où les X1 seraient les coordonnées de Klein d'une droite de E3). Mais elle permet d'aborder avec fruit un certain nombre de questions de géométrie projective réglée en les ramenant à des questions de géométrie métrique, ce qui permet parfois à l'intuition de s'exercer plus librement et à la théorie générale métrique des surfaces d'offrir le service de ses résultats. Le développement qui suit a pour objet d'illustrer le point de vue signalé, en complétant opportunément certains résultats antérieurs.