Algèbre linéaire

1. Espaces vectoriels réels ou complexes. Définition 1.1 : K-espace vectoriel Définition 1.2 : (hors programme) K-algèbre Théorème 1.1 : exemples Définition 1.3 : combinaison linéaire de vecteurs Définition 1.4 : sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel Théorème 1.2 : caractérisation d'un sous-espace vectoriel Théorème 1.3 et définition 1.5 : espace vectoriel produit 2. Combinaisons linéaires et familles. Définition 2.1 : famille libre de vecteurs Définition 2.2 : famille liée de vecteurs Théorème 2.1 : caractérisation des familles liées Théorème 2.2 : cas où l'un des vecteurs de la famille est nul Théorème 2.3 : famille de polynômes de degrés échelonnés Définition 2.3 : rang d'une famille de vecteurs Définition 2.4 : sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs Théorème 2.4 : caractérisation d'un sous-espace vectoriel engendré Définition 2.5 : base d'un K-espace vectoriel 3. Espaces vectoriels de dimension finie. Définition 3.1 : espace vectoriel de dimension finie Théorème 3.1 : de l'échange Théorème 3.2 : existence de bases dans un espace vectoriel de dimension finie Définition 3.2 : dimension d'un K-espace vectoriel Théorème 3.3 : cardinal des familles libres ou génératrices dans un espace vectoriel de dimension finie Théorème 3.4 : de la base incomplète Théorème 3.5 : dimension d'un sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel de dimension finie Théorème 3.6 : caractérisation du rang d'une famille de vecteurs Théorème 3.7 : égalité de sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel de dimension finie 4. Applications linéaires. Définition 4.1 : application linéaire entre K-espaces vectoriels, L(E,F) Théorème 4.1 : structure de K-espace vectoriel de L(E,F) Définition 4.2 : (hors programme) le groupe linéaire d'un espace vectoriel Définition 4.3 : morphisme, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme Définition 4.4 : image et noyau d'une application linéaire Théorème 4.2 : image et noyau d'un morphisme sont des sous-espaces vectoriels Théorème 4.3 : caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité Théorème 4.4 : caractérisation d'une application linéaire par son action sur une somme directe Théorème 4.5 : isomorphisme entre l'image d'un morphisme et un supplémentaire de son noyau 5. Applications linéaires en dimension finie.