{"title":"The criterion of uniform global attainability of linear systems","authors":"A. Kozlov","doi":"10.20537/2226-3594-2018-52-04","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"В статье рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$\\dot x =A(t)x+ B(t)u, \\quad x\\in\\mathbb{R}^n,\\quad u\\in\\mathbb{R}^m,\\quad t\\geqslant 0. \\qquad(1)$$ Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\\geqslant 0$. Для замкнутой системы $$\\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \\quad x\\in\\mathbb{R}^n, \\quad t\\geqslant 0, \\qquad(2)$$ устанавливается критерий ее равномерной глобальной достижимости. Это свойство означает существование такого $T>0$, что для всяких положительных чисел $\\alpha$ и $\\beta$ найдется $d=d(\\alpha,\\beta)>0$, обеспечивающее при всяком $t_0\\geqslant 0$ и произвольной $(n\\times n)$-матрице $H$, $\\|H\\|\\leqslant\\alpha$, $\\det H\\geqslant\\beta$, возможность построения измеримого на $[t_0,t_0+T]$ матричного управления $U(\\cdot)$, для которого справедлива оценка $\\sup\\limits_{t\\in [t_0,t_0+T]}\\|U(t)\\|\\leqslant d$ и равенство $X_U(t_0+T,t_0)=H$, где $X_U$ - матрица Коши системы $(2)$. Доказательство критерия основано на полученной в работе теореме о представлении всякой $(n\\times n)$-матрицы с положительным определителем в виде произведения девяти верхне- и нижнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами и дополнительными условиями на норму и определитель этих матриц.","PeriodicalId":42053,"journal":{"name":"Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki-Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta","volume":null,"pages":null},"PeriodicalIF":0.3000,"publicationDate":"2018-11-01","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"2","resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki-Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta","FirstCategoryId":"1085","ListUrlMain":"https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-04","RegionNum":0,"RegionCategory":null,"ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"Q4","JCRName":"MATHEMATICS","Score":null,"Total":0}
引用次数: 2
Abstract
В статье рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами $$\dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \qquad(1)$$ Управление в системе $(1)$ строится по принципу линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\geqslant 0$. Для замкнутой системы $$\dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \qquad(2)$$ устанавливается критерий ее равномерной глобальной достижимости. Это свойство означает существование такого $T>0$, что для всяких положительных чисел $\alpha$ и $\beta$ найдется $d=d(\alpha,\beta)>0$, обеспечивающее при всяком $t_0\geqslant 0$ и произвольной $(n\times n)$-матрице $H$, $\|H\|\leqslant\alpha$, $\det H\geqslant\beta$, возможность построения измеримого на $[t_0,t_0+T]$ матричного управления $U(\cdot)$, для которого справедлива оценка $\sup\limits_{t\in [t_0,t_0+T]}\|U(t)\|\leqslant d$ и равенство $X_U(t_0+T,t_0)=H$, где $X_U$ - матрица Коши системы $(2)$. Доказательство критерия основано на полученной в работе теореме о представлении всякой $(n\times n)$-матрицы с положительным определителем в виде произведения девяти верхне- и нижнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами и дополнительными условиями на норму и определитель этих матриц.