Aplicación del método de resumación de Borel en la ecuación diferencial de Euler

Abstract

  El propósito de este artículo es mostrar que a partir de la series divergentes se puede obtener información relevante que permite resolver algunos problemas, para lograr este cometido, inicialmente se hace una breve introducción a la teoría resurgente de Écalle, se establecen las definiciones básicas como: resumación de Borel, serie clase Gevrey1 e introducimos las herramientas necesarias, entre ellas la transformada de Borel y Laplace, además se hace un esquema de los pasos que se deben seguir para usar el método de resumación de Borel. Se muestra como ejemplo la ecuación diferencial de Euler, de la cual se halla una solución en forma de serie formal divergente. Siguiendo el esquema del método se debe calcular en primer lugar la transformada de Borel y asociar esta con una función que es analítica en un dominio, para así definir el dominio de la transformada de Laplace y obtener por extensión analítica las soluciones al problema inicial. Luego de este procedimiento las soluciones al problema inicial no deben estar dado por una serie divergente y en su lugar puede ser representado por integrales con caminos distintos, esto último puede permitir establecer relaciones entre las soluciones..   Palabras claves: resumación de Borel, ecuación diferencial de Euler, series divergentes.   Abstract The purpose of this article is to show that from the divergent series it is possible to obtain relevant information that allows solving some problems, to achieve this task, initially a brief introduction to the resurgent theory of Écalle is made, the basic definitions are established such as: Borel summarization, Gevrey1 class series and we introduce the necessary tools, among them the Borel and Laplace transform, we also outline the steps that must be followed to use the Borel summarization method. Euler’s differential equation is shown as an example, of which a solution is found in the form of a divergent formal series. Following the scheme of the method, the Borel transform must first be calculated and associated with a function that is analytic in a domain, in order to define the domain of the Laplace transform and obtain by analytical extension the solutions to the initial problem. After this procedure, the solutions to the initial problem should not be given by a divergent series and instead can be represented by integrals with different paths, the latter can allow establishing relationships between the solutions.   Keywords: Borel’s summary, Euler differential equation, series divergent.