On totally global solvability of evolutionary equation with monotone nonlinear operator

Abstract

x +Ax = f [u](x), x(0) = a ∈ H; x ∈ W = {x ∈ X : x ∈ X}, где u ∈ U — управление, f [u] : C(0, T ;H) → X∗ — вольтерров оператор (W ⊂ C(0, T ;H)), доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости некоторого функционально-интегрального неравенства в пространстве R. Во многих частных случаях указанное неравенство может быть конкретизировано как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Фактически, развивается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая линейного оператора A и V = H = V ∗. Отдельно рассматриваются случаи компактного вложения пространств, усиления условия монотонности и совпадения тройки пространств V = H = H∗. В последних двух случаях доказывается также единственность решения. В первом случае применяется теорема Шаудера, в остальных — технология продолжения решения по времени (то есть продолжения вдоль вольтерровой цепочки). Приводятся конкретные примеры задания оператора A.